Origen de los números (página 2)

1.2.- LOS SISTEMAS
NUMÉRICOS EN LA ANTIGUEDAD

Aunque se carece
de información fidedigna acerca de la forma
como el hombre
primitivo empezó a valerse de un sistema
numérico, tuvo muchas razones y situaciones cotidianas que
lo impulsaron a tratar de cuantificar todo lo que le rodeaba. En
su etapa sedentaria se vio forzado a emplear algún
método
de conteo, ya fuera para saber cuantas cabezas de ganado u ovejas
poseía; como también para conocer el número
de armas que
tenía, o para cuantificar la extensión de los
terrenos sembrados o conquistados. Figura No. 2.

"Nuestros
antepasados debieron hacer un gran esfuerzo para alejarse de lo
concreto y la
realidad del mundo circundante, para llegar a la
concepción de la entidad numérica, al realizar esta
abstracción numérica el hombre
partió de la consideración de las entidades
físicas tangibles en su mundo."2 De esta manera
el hombre descubrió el primer sistema de matemáticas aplicadas, que luego los
matemáticos definirían como una correspondencia
biunívoca entre dos órdenes.

También
cuando éste se dedicó a la agricultura,
tuvo que idear un sistema para medir el tiempo en las
épocas de siembra y cosecha, finalmente en su etapa de
comerciante, necesitó crear un sistema para fijar el peso,
volumen y el
valor de sus
productos para
intercambiarlos con los pueblos vecinos.

FIGURA No. 2 –
FORMA DE CONTEO PRIMITIVO3

Al tener el hombre
antiguo un sistema base de medida, se vio en la necesidad de
cuantificar las medidas en su modo base de contar, esta
operación la llevó a cabo, por ejemplo, utilizando
un sistema de rayas rasgadas en las paredes o pintadas en
papiro;

otro método
era haciendo marcas en los
troncos de los árboles
o cortes sobre una vara para llevar un registro
permanente de las cosas. Cada pueblo o tribu tuvo que inventar
sus propias palabras y signos para
representar sus operaciones de
conteos realizados, con el comercio los
antiguos mercaderes estaban obligados a saber una gran variedad
de sistemas de medidas y numeración, a fin de poder
comerciar con los diferentes pueblos o tribus.

Para llegar a la
concepción e invención de un sistema
numérico, fueron necesarios muchos miles de años
antes que el hombre concibiera la idea del número, "un
paso fundamental en el proceso de la
abstracción matemática
fue la creación de los símbolos matemáticos, las
matemáticas es una de las más hermosas creaciones
de la inteligencia
de la especie humana,"4 la invención de un
sistema numérico es quizá una de las mayores
invenciones del hombre antiguo. Dentro de estos sistemas se
encuentran los aditivos, los híbridos y los
posicionales.

____________

2.- MASINI
Giancarlo, El romance de los números, p. 16

3.- MI PRIMERA
ENCICLOPEDIA CIENTIFICA, p. 19

1.2.1.-
SISTEMAS DE NUMERACIÓN ADITIVOS.- Este sistema acumula
los símbolos de todas las cifras hasta completar el
número deseado, una de sus características es que
los símbolos se pueden colocar en cualquier
posición u orden, ya fuera de izquierda a derecha, derecha
a izquierda, arriba hacia abajo, un ejemplo clásico de
este sistema es el egipcio, el romano, el griego.

1.2.2.-
SISTEMAS DE NUMERACIÓN HÍBRIDOS.- Estos
sistemas combinan el principio del sistema aditivo con el
multiplicativo, pero el orden en la escritura de
las cifras es muy fundamental para evitar confusiones en su
interpretación, un ejemplo de este sistema
es el chino clásico.

1.2.3.-
SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES.- Es el mejor y
mas desarrollado sistema inventado por las civilizaciones
antiguas, en ellos la posición de las cifras indica la
potencia de la
base que le corresponde. Solamente tres culturas lograron
implementar este sistema, la babilónica, la hindú y
la maya, estas dos ultimas lograron innovar una nueva cifra de
trabajo, el
valor posicional del cero.

1.3.- SISTEMAS DE
NUMERACIÓN MEDITERRÁNEOS.-

Los primeros
indicios de pueblos civilizados aparecieron en la cuenca
mediterránea oriental entre los ríos Tígris
y Éufrates, que corresponde a las civilizaciones Sumeria y
Babilónica. Posteriormente se propagaron a las culturas
occidentales a través de las rutas comerciales y las
conquistas de las culturas griegas y romanas.

1.3.1.-
CIVILIZACIÓN SUMERIA Y BABILONICA.- Hacia el
año 4000 a.C. en el sudeste de la mesopotámica se
instalaron los sumerios y su capital fue
Ur, posteriormente en el año 2500 a.C. este pueblo fue
dominado por los acadios, un pueblo semita cuya capital era Acad,
gobernados en esa época por Sargón, de esta forma
la brillante cultura
sumeria quedó fusionada con la acadia. Posteriormente este
imperio cayó en poder de los babilonios hacia el
año de 2270 a.C., gobernando el rey Hammurabi y haciendo
de Babilonia su capital, durante su reinado floreció un
período de alto nivel cultural.

Los babilonios
fueron los primeros en contribuir al desarrollo de
las matemáticas, la aritmética alcanzó su
más alto nivel de desarrollo. En los restos
arqueológicos de las Tablas de Senkreh, llamadas
así por el lugar donde fueron descubiertas a orillas del
Éufrates en 1854, se encontraron otras referencias
literarias antiguas de esta civilización. En otros restos
arqueológicos de Nuffar, existían tablas de
multiplicar grabadas con caracteres cuneiformes, de
números enteros dispuestos en columnas con valores
superiores a 180 000.

___________

4.- MASINI
Giancarlo, El romance de los números, p. 11

FIGURA No. 3 –
NÚMEROS CON CARACTERES
CUNEIFORMES5

Los primeros
símbolos escritos de estas culturas, representaban los
números con marcas en forma de cuña de acuerdo a su
escritura cuneiforme. Los babilonios tenían un
método de contar un poco complicado, su sistema
numérico era en base sesenta (60), o sea, contaban de
sesenta en sesenta, llamadas sesentenas babilónicas, Su
aritmética se basaba en dos números ejes, el 10 y
60, teniendo en cuenta el posicionamiento
de estos caracteres así mismo se leían e
interpretaban, en la Figura No. 3 se muestra los
caracteres cuneiformes de su sistema
numérico6.

El símbolo
▼ puede representar sesenta o uno, dependiendo de la
posición en que se encuentre, al inicio o al final del
número a expresar, girado 90º a la derecha su valor
cambia a 10. La representación de una resta era precedida
por los caracteres ▼▶ , las cifras se escribían de derecha a
izquierda, y se descifraban de la misma manera, como se muestra
en la Figura No. 4. Sus numerales en algunos casos podían
resultar un poco confusos para su interpretación,
había que conocer bien su sistema de numeración.
Los números fraccionarios siempre los representaban con un
único denominador cuyo valor era sesenta, las cifras se
espaciaban de la parte entera.

____________

5.- 11.-
ENCICLOPEDIA BARSA, Tomo II, p. 409

6- NUEVA
ENCICLOPEDIA TEMATICA, p. 2

Ejemplos de
aplicación del sistema numérico babilónico
son los siguientes:

2. Expresar el número
   142

(1 + 1) (10 +10
+2) = 2 (60) + 22 = 142

ii) Expresar el
número 258 458

FIGURA No. 4 –
REPRESENTACIÓN TIPICA NUMERACIÓN
CUNEIFORME7

iii) Expresar el
número 321,75 = > se expresa en número mixto 321
¾ => el denominador se expresa con denominador 60 =
> 321 (¾) x (15/15) = > 321 45/60

(5 x 60) + (2×10)
+1 (4×10) + (5×1) = 300 + 20 +1 40 +5 = 321 45/60

1.3.2.-
CIVILIZACIÓN EGIPCIA.- El faraón Menes
unificó los reinos hacia el
año 2500 a.C., fundando la primera dinastía. Los
egipcios crearon la más antigua escritura que se conoce,
la escritura jeroglífica desarrollada sobre la base de
dibujos que
representaban de alguna manera la idea del número o idea
que se quería representar. Los documentos
más importantes que han sobrevivido son dos papiros
bastante extensos, uno llamado papiro de Rhind y el de
Mosú, ambos datan hacia el año 1700 a.C., su
contenido son el planteamiento de problemas
matemáticos y sus soluciones.

Esta cultura
desarrolló su sistema de conteo muy original de base diez
(10), contando por decenas, la unidad era representada por el
signo /, la decena por el signo Ç , cada símbolo podía
repetirse hasta nueve veces y el número representado se
encontraba sumando los valores de
cada uno de los jeroglíficos o símbolos
empleados.8 Para representar otros números, se
colocaban estos símbolos uno al lado de otro formando las
combinaciones adecuadas.

El principio de la
numeración egipcia estaba compuesto de siete signos
sencillos, que cualquier persona
podía interpretar y realizar con ellos cuentas,
aún si ésta no supiera leer ni escribir, pero no se
tenía plenamente identificado el concepto del
valor posición, que se podía escribir e interpretar
en ambos sentidos.. En la Figura No. 5 se representan los
símbolos numéricos jeroglíficos.

____________

7.- ENCYCLOPAEDIA
BRITANNICA, Volumen 10, p. 90

FIGURA No. 5 –
SISTEMA DE NUMERACIÓN JEROGLÍFICA
EGIPCIA9

El sistema de
numeración egipcio también manejó las cifras
fraccionarias, estas se representaban con el signo de una boca
para expresar,
uno partido por, y seguido del número denominador, el
numerador siempre era la unidad.

Algunos ejemplos
de este tipo de numeración son los
siguientes:10

2. Expresar los números 33,
   57

ii) Expresar el
número 42, 75 = > se expresa en número mixto 42
½ ¼

iii) Expresar el
número 124 100

El imperio egipcio
utilizó las matemáticas en la
administración estatal al calcular los impuestos que
debían tributar sus súbditos, en la construcción de los templos, en el comercio
calculando volúmenes de graneros y la geometría en las áreas cultivadas de
los campos y sus monumentales pirámides funerarias. En la
Figura No. 6 se muestran los símbolos de los diez
números naturales en escritura
hierática.

___________

8.- NUEVA
ENCICLOPEDIA TEMATICA, p. 2

9.-CHAVEZ L. Hugo
H. , et al., Matemáticas 6, p. 34

10- NUEVA
ENCICLOPEDIA TEMATICA, p. 2

FIGURA No. 6 –
SISTEMAS DE NUMERACIÓN EGIPCIA, JEROGLÍFICA (A),
HIERÁTICA (B)11

1.3.3.-
CIVILIZACIÓN GRIEGA.- El auge de la
civilización Griega en el Mediterráneo, surgida en
estrecho contacto con los pueblos del norte del África y
el Asia menor,
sirvió de vehículo transmisor hacia las culturas de
occidente. Los griegos aprendieron de los egipcios y de los
fenicios,
tomaron el diez como número básico, su sistema de
numeración era literal usando letras del alfabeto como
símbolos para los números.

El primer sistema
de numeración utilizado por los griegos se llamó
Ático y fue desarrollado hacia el año 600 a. C.,
era de carácter aditivo en base diez. Para
representar la unidad y los números hasta el 4, empleaban
trazos verticales repetitivos, para el 5, 10 y 1000, su
representación era la letra correspondiente a la inicial
de cada cifra, 5 (pente), 10 (deka), 1000 (khiloi). Los
símbolos de 50, 500, 5000, los obtenían por el
principio multiplicativo, añadiendo el signo de 10, 100,
1000, al de 5, como se observa en la Figura No. 7.

__________

11.- ENCICLOPEDIA
BARSA, Tomo II, p. 409

FIGURA No. 7 – SISTEMA DE NUMERACIÓN GRIEGA
ÁTICA12

De la misma
Referencia 12, se trae un ejemplo de la aplicación del
sistema numérico griego, es la representación del
número 3737

El sistema de
numeración griego también manejó las cifras
fraccionarias, estas se representaban en la parte superior
derecha (a modo de exponente) con una comilla para el numerador y
dos comillas para el denominador, las cifras se colocaban
seguidas. Un ejemplo para este tipo de operación es
125,87,

Esta cifra se
expresa en número mixto = > 125 7/8

El sistema
Jónico o Alejandrino de numeración empleaba las
letras minúsculas del alfabeto, lo mismo que algunos
símbolos, como se muestra en la Figura No.8; para escribir
unas cifras numéricas los números parecían
palabras y las palabras tenían un valor
numérico.

Este sistema
literal era muy poco flexible, por lo que resultaba bastante
complicado hacer operaciones aritméticas en griego,
razón por la cual no tuvieron una adecuada manera de
representar los números, y les impidió hacer
mayores progresos en el cálculo
matemático13.

__________

12.- CASADO
Santiago, Los Sistemas de
Numeración a lo Largo de la Historia, p.3

13.- BALDOR
Aurelio, Op. Cit., p. 79

FIGURA No. 8 –
SISTEMA DE NUMERACIÓN GRIEGA
JÓNICA14

1.3.4.-
CIVILIZACIÓN ROMANA.- Los Romanos adoptaron gran parte
de las unidades literales griegas, a las que les incorporaron
algunas propias como la libra y extendieron su uso por todos sus
dominios conquistados. Utilizaron signos simples combinados con
algunas letras, para construir un sistema que era mucho
más fácil de manejar. El sistema literal de
numeración romano no utiliza el principio del valor
relativo, el valor de los símbolos siempre es el mismo sin
que influya el lugar que ocupan.

Los
símbolos literales que empleaban en su sistema
numérico estaban compuestos por siete letras, (I – V
– X – L – C – D – M), para las tres
primeras cifras eran rayas verticales que asemejaban un dedo
(dígitus.), para el cinco usaban la V; que parece haber
sido en un comienzo el dibujo de una
mano, para el diez dos de los símbolos de la cifra cinco
con uno de ellos invertido y con el tiempo se transformó
en el símbolo de X, y así sucesivamente.

La
numeración literal romana tenía unos recursos de
representación o reglas, nunca usaban más de tres
rayas o signos juntos, el cuatro lo significaban restando de una
cifra mayor como el cinco la unidad, para obtener el nueve le
restaban la unidad de diez.

Además
utilizaban una rayita colocada encima de una letra para indicar
tantos millares como unidades tenga ese símbolo, dos
rayitas encima de cualquier símbolo indican tantos
millones como unidades tenga el
símbolo.15

A
continuación se presenta el sistema de numeración
romana:

I = Uno
(1); II= Dos (2); III= Tres (3); IV = Cuatro
(4); V = Cinco (5);

VI= Seis
(6); X = Diez (10); XV = Quince (15); L=
Cincuenta (50); C = Cien (100)

__

D =
Quinientos (500); M = Mil (1 000); M = Un
millón (1 000 000)

___
══

MM = Dos
millones ( 2 000 000); XX = Veinte millones (20 000
000)

=

≡
≡

M = Un
billón (1 000 000 000 000) M = Un trillón (1
000 000 000 000 000 000)

Se presentan
algunos ejemplos del sistema de numeración
romana:

i) Expresar el
número 2349

MMCCCXLIX =
2 (1 000) + 3 (100) + (50 – 10) + (10 – 1) =
2349

ii) Expresar el
número 550 010

__

DL X = 1
000 (500 + 50) + 10 = 550 010

iii) Expresar el
número 4 132 200

══________

IV CXXXIICC
= 1 000 000 (5-1)+1 000 [100+3(10)+1+1]+(100+100) = 4 132
200

____________

14 – KLINE Morris,
Op. Cit., p. 182

15.- BALDOR
Aurelio, Op. Cit., p. 45

Las letras
numerales romanas eran mejores que las antiguas maneras de contar
que se conocían, y permanecieron en uso durante casi dos
mil años. "La contribución de los romanos a las
matemáticas estuvo limitada a algunas nociones de
Agrimensura, surgidas de la necesidad de medir y fijar las
fronteras del vasto imperio. No obstante la huella romana en su
numeración, todavía hoy tiene vigencia por el uso
en los capítulos de los libros, en la
sucesión de los reyes, en la notación de los siglos
y especialmente en las inscripciones
históricas."16

1.4.- SISTEMAS DE
NUMERACIÓN ORIENTALES.-

A los griegos en
el estudio de las matemáticas le sucedieron los
hindúes, que recibieron su influencia directa,
posteriormente cuando fueron dominados por los árabes en
el 632 d.C. tomaron y mejoraron los símbolos
numéricos de los hindúes lo mismo que la
notación posicional.

1.4.1.-
CIVILIZACIÓN HINDÚ.- Los hindúes
dominaron por completo el arte de contar,
en su poema épico del Mahabarata se cita la no
despreciable cifra de 24 x 1040 que representa el
número de divinidades existentes.17 Los
hindúes desarrollaron por el año 570 a.C. un
práctico sistema de notación numérico al
utilizar el principio posicional de las cifras en sus operaciones
matemáticas.

La importancia de
este método incide en que la posición del
dígito o cifra numérica es significativa. Mediante
este sistema es posible escribir cualquier número usando
tan solo diez (10) dígitos, o sea que es un sistema de
numeración de base diez o decimal. Ver Figura No. 9. Los
hindúes eran hábiles matemáticos, estos
resolvieron un gran problema al inventar el símbolo del
cero (0) denominándolo sunya, las cifras utilizadas por
los hindúes se convirtieron en las cifras que se utilizan
actualmente

____________

16.- Ibidem., p.
45

17.- MASSINI
Giancarlo, Op. Cit., p. 26

FIGURA No. 9-
SISTEMA DE NUMERACIÓN
HINDÚ18

1.4.2.-
CIVILIZACIÓN CHINA.- El
pueblo chino también invento su propio sistema de
numeración hacia el año 1500 a. C., era un sistema
híbrido que combinaba el principio aditivo con el
multiplicativo en base diez, y se debía tener en cuenta el
orden de escritura, ya fuera vertical (abajo hacia arriba) u
horizontal (de izquierda a derecha). Emplea una serie de trece
ideogramas hasta la decena, centena, millar y decena de millar,
utilizando combinaciones que se combinaban entre si hasta obtener
la cifra deseada, en la Figura No. 10 se muestran los
ideogramas.

FIGURA No.
10

SISTEMA DE
NUMERACIÓN CHINO19

De la misma
Referencia 19, se tiene un ejemplo de la aplicación del
sistema de numeración chino, es la representación
del número 5769.

____________

18.- KLINE Morris,
Op. Cit., p.248

19.- CASADO
Santiago, Op. Cit., p.4

1.4.3.-
CIVILIZACIÓN ÁRABE.- La civilización árabe sostuvo contactos
culturales con los hindúes, los griegos del Imperio
Bizantino y los egipcios, donde adquirieron el
conocimiento por medio de las traducciones de las grandes
obras de Euclides, Ptolomeo, Arquímedes, Aristóteles, Diofanto, etc. al idioma
árabe. El sistema numérico actual (llamado
arábigo) no fue inventado por los árabes, sino por
los hindúes, ellos recogieron este gran conocimiento y
lo introdujeron en Europa, al cero
lo llamaron céfer, que en el idioma árabe significa
vacío, ver Figura No. 11.

Este nuevo sistema
de numeración muy lentamente fue llegando a occidente
reemplazando a los números romanos, que dominaron por
muchos siglos. Aunque el primer manuscrito europeo que
utilizó los numerales árabes data del año
976 d.C., ya en el año 1500 d.C. la aritmética
explicaba el sistema de numeración arábigo con todo
lujo de detalles.

FIGURA No. 11 –
SISTEMA DE NUMERACIÓN
ÁRABE20

1.5.- SISTEMAS DE
NUMERACIÓN AMERICANOS.-

En el continente
americano descollaron dos grandes civilizaciones localizadas en
América
del norte y central, las culturas Azteca y Maya. Fueron cultores
del estudio de la astronomía, realizando grandes y precisos
cálculos de la posición del sol y los astros, en
las matemáticas los Mayas dejaron
un legado de conocimiento que solamente se conoció con las
exploraciones arqueológicas adelantadas en el siglo
XX.

1.5.1.-
CIVILIZACIÓN MAYA.- Los Mayas
habían desarrollado una floreciente civilización en
América central, practicaban el comercio y la agricultura
por medio de las observaciones solares, teniendo un avanzado
sistema numérico en uso por los años 400 –
300 a.C., su sistema tiene alguna semejanza con el romano aunque
en algunos aspectos es superior. Conocieron el cero y su sistema
de numeración es de base veinte o vigesimal pero
posicional, utilizaban el cinco como base auxiliar. (Ver Figura
No. 12)

FIGURA No. 12 –
SISTEMA NUMÉRICO MAYA21

_____________

20.- RENNO SAMER
M., Contributions to Civilizations, p. 1

21.- CHAVEZ L.
Hugo H et al. , p. 35

Los números
del uno al diecinueve se representaban por medio de puntos y
barras consecutivas verticales, el numero uno era representado
por un punto, los puntos se repetían hasta cuatro veces
para obtener el cuatro, el cinco era una raya horizontal que le
se iban añadiendo puntos hasta llegar al nueve. Las barras
se podían repetir hasta tres veces en combinación
de los puntos, hasta llegar al diecinueve. Este sistema
numérico se interpretaba de abajo hacia arriba,

El cero se
representaba por un ojo o una concha semicerrada con un punto
adentro, para los números superiores al diecinueve
aplicaban su sistema posicional de las cifras, con progresiones
de veinte en veinte de abajo hacia arriba, (200
– 201 – 202 –
203…), con las cuales se podían realizar
operaciones de diverso orden. Se citan a continuación
algunos ejemplos de aplicación del sistema de
numeración maya:

En los
cómputos de tiempo y observación astronómica
existía variación en la tercera posición, no
se utilizaba la cifra 202 que era reemplazada por 20 x
18, con el objeto de obtener una mayor precisión en sus
cálculos22. Se citan a continuación
algunos ejemplos de aplicación del sistema de
numeración maya:23

_____________

22.- NUEVA
ENCICLOPEDIA TEMATICA, p. 2

23.- CASADO
Santiago, Op. Cit., p. 6

1.6.- SISTEMA DE
NUMERACIÓN DECIMAL.-

Leonardo de Pisa
fue uno de los primeros en introducir este nuevo sistema de
numeración en Europa hacia el siglo VIII d. C., en la
Figura No. 13 se representa un manuscrito español,
fechado en 976 d. C., donde aparecen las nuevas cifras
numéricas indo-arábigas.

FIGURA No.
13

SISTEMA
NUMÉRICO DECIMAL
INDO-ARÁBIGO24

La
numeración hace parte de la Aritmética para
expresar de manera hablada y escrita los números, el
número es una abstracción para describir la
cantidad de un conjunto. Las cifras o guarismos son los signos
que se emplean en un sistema para representar los números,
las cifras empleadas son llamadas arábigas y están
compuestas por diez cifras, desde el cero (0) que se le llama
cifra no significativa y a las demás cifras
significativas, estos números han evolucionado a
través de los siglos, tal como se muestra en la Figura No.
14.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

FIGURA No. 14 –
SISTEMA NUMÉRICO DECIMAL ACTUAL

Las reglas y
convenciones que permiten expresar y escribir todos los
números, constituye un sistema de numeración, se
trata de un sistema decimal de base diez, en que cada cifra tiene
un valor que depende del lugar que ocupa, o sea, que cada unidad
de un determinado orden derecha a izquierda) representa un valor
diez veces mayor que cada unidad del orden inmediatamente
anterior situado a la derecha.

Lo mismo se aplica
para las cifras decimales, se escriben estas a la derecha de las
unidades simples y se separan de estas con una coma, de esta
manera se constituyen ordenes sucesivos donde cada cifra
representa un valor diez veces menor que cada unidad del orden
inmediatamente anterior situado a la izquierda

Para escribir una
cifra en este sistema se colocan las cifras una a
continuación de las otras, conviniendo en que cada una
exprese unidades del orden indicado por el lugar que ocupa
contando de derecha a izquierda. Se da el siguiente ejemplo de
interpretación posicional de una cifra en este
sistema:

i) Expresar el
número 42 875

42 785 donde las
posiciones de las cifras son: 4 x 104 = 40 000 Decenas
de mil

2 x 103
= 2 000 Unidades de mil

7 x 102
= 700 Centenas

8 x 101
= 80 Decenas

5 x 100
= 5 Unidades

42 785

ii) Expresar el
número 0,785

0,785 donde las
posiciones de las cifras son: 0 x 100 = 0, Unidades
enteras

7 x
10-1 = 0,7 Décimas

8 x
10-2 = 0,08 Centésimas

5 x
10-3 = 0,005 Milésimas

En la Figura No.
15 se representa la evolución histórica de las cifras
numéricas actuales.

FIGURA No. 15 –
SISTEMAS NUMÉRICOS DE LAS ANTIGUAS
CIVILIZACIONES25

____________

24.- CARRILLO Z.
Ricardo, Matemática On-line, p. 5

25.- MI PRIMERA
ENCICLOPEDIA CIENTIFICA, p. 14

BIBLIOGRAFÍA

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ENCYCLOPAEDIA
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EDITORIAL
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páginas 1 – 4, 9 – 13

BALDOR
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EDITORES.- DICCIONARIO ENCICLOPEDICO UNIVERSAL, Tercera
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Editores, Tomo II, página 3197

MASINI
GIANCARLO.- EL ROMANCE DELOS NÚMEROS, Historia
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CHAVEZ HUGO
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CASADO
SANTIAGO.- LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN A LO LARGO DE LA
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RENNO M. SAMER
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CARRILLO Z.
RICARDO .- HISTORIA DE LOS NÚMEROS, Matemática
On-Line, www.math-online.cl/htmltonuke.php?, Documento Internet de 7
páginas

Pedro Pablo
Magaña Herrera

EL AUTOR

Pedro Pablo
Magaña Herrera, Tecnólogo en Topografía, Ingeniero Civil, Especialista
en Patología de la Construcción. Consultor y
Catedrático Universitario, Facultad de Construcción
en Ingeniería y Arquitectura,
Universidad Santo
Tomás, Santiago de Cali, Valle del Cauca,
Colombia.