Una formación matemática
elevada y amplia es, cada vez más, un componente esencial
de la formación universal del hombre. Del
contenido y de la formación matemática depende, en
gran medida, cómo llegarán a vencerse las tareas
planteadas a la ciencia y
la técnica.
La geometría
juega un papel importante y por esa razón, ocupa ya un
lugar definitivo en la enseñanza de la matemática en
la
educación general politécnica y laboral.
La geometría se origina en las antiguas
civilizaciones egipcias y babilónicas como genuina
ciencia
experimental sobre la base de requerimientos de la Arquitectura, la
Astronomía y, particularmente, de las
mediciones de las tierras que frecuentemente se hacían
necesarias después de las crecidas periódicas de
los grandes ríos. Los resultados se daban a conocer sin
fundamentación, como "recetas".
En el siglo VII a.n.e los conocimientos
geométricos se extendieron hasta Grecia.
Allí la geometría alcanzó un florecimiento
con los notables geómetras griegos Thales de Mileto
(alrededor de 600 a.n.e), Pitágoras (alrededor de 550
a.n.e), Platón
(alrededor de 400 a.n.e), Eudoxio (alrededor de 400 a.n.e),
Euclides (alrededor de 300 a.n.e), Arquímedes (alrededor de 250 a.n.e),
Herón de Alejandría (alrededor de 100
a.n.e).
Euclides emprendió el ensayo de
deducir teoremas geométricos en sucesión lógica.
Para ello partió de algunas "definiciones" y
formuló después "axiomas" y "postulados" que fueron
supuestos como válidos, sin
demostración.
Euclides fundamentó la construcción lógica de su
geometría en las "definiciones", "axiomas" y "postulados".
El rigor de sus demostraciones fue reconocido como modelo a lo
largo de muchos siglos.
Con el desmoronamiento de la antigua sociedad
esclavista, comenzó un período de estancamiento de
la geometría. Solamente las necesidades técnicas
del naciente capitalismo
condujeron al desarrollo
posterior de los métodos
geométricos y, por cierto, en dos direcciones:
Por una parte, los fundamentos de la geometría
euclidiana permanecieron invariables; pero las figuras
geométricas más generales fueron estudiadas con
ayuda de nuevos métodos. Así surgen en los siglos
XVII-XVIII la geometría analítica (Descartes
1596-1650), la geometría diferencial (Euler 1703-1783;
Gauss 1777-1855), la geometría proyectiva y la
geometría descriptiva (Desargues,1593-1662; Pascal 1623-1662;
Monje, 1746-1818).
La segunda dirección que se establece un poco
más tarde, conduce al desarrollo de las nuevas teorías
geométricas. Mediante la negación del axioma de las
paralelas de Euclides, llegan Lobatscheski (1793-1856), Bolyai
(1802- 1860) y Gauss a una geometría no euclidiana; las
modificaciones en la concepción del espacio condujeron a
la geometría de Riemann (1826-1866); Felix Klein
(1849-1925) presentó en su programa de
Erlanger, publicado en 1872, un principio de orden para la
notable profusión de teoremas geométricos y
definiciones de las distintas teorías
geométricas.
Desde el punto de vista de las matemáticas modernas, las demostraciones de
Euclides no pueden satisfacer plenamente. Así, en los
ejemplos ya mencionados de "definiciones" se observa que Euclides
opera con conceptos que son ellos mismos indefinibles, como por
ejemplo, "longitud" y "anchura". Se trata de descripciones
intuitivas de figuras geométricas.
En formulaciones como "un punto se halla en el interior
de un triángulo" o "dos puntos están situados en
lados opuestos de una recta", Euclides apela a la evidencia
convincente de un dibujo.
Además la igualdad por
superposición (congruencia) de figuras geométricas
se define con ayuda del movimiento
(compárese con "las cosas que se cubren mutuamente son
iguales entre sí").
Sin embargo, Euclides no define el concepto de
movimiento ni tampoco enuncia las propiedades de un
movimiento.
Por estas y otras razones, es comprensible que distintos
matemáticos se esforzaran en construir en forma
irreprochable la geometría euclidiana. En una
construcción rigurosamente lógica de la
geometría, cada teorema no importa lo evidente que sea
debe ser demostrado, a menos que esté incluido entre los
axiomas.
La primera invitación a la geometría se
realiza por medio de la intuición, desde la más
temprana edad se experimenta con las formas de los objetos ya
sean juguetes o
utensilios familiares.
La geometría como cuerpo de conocimientos es la
ciencia que tiene por objeto analizar, organizar y sistematizar
los conocimientos espaciales. En un sentido amplio se puede
considerar a la geometría como la matemática del
espacio.
En la enseñanza de la geometría deben
fijarse algunos objetivos
mínimos en función de
los cuales deben programarse las actividades. En un aprendizaje
dinámico por su relación con otras disciplinas y
otras materias.
Por supuesto existen objetivos generales que todo
ciudadano debería alcanzar tras su formación: tener
una cultura
geométrica con una visión histórica e
interdisciplinar, aplicar conocimientos geométricos para
modelizar, crear o resolver problemas
reales, usar los diferentes lenguajes y representaciones…,
etc.
Un tema muy actual en los medios
educativos es distinguir entre lo que es útil de aprender
y lo que es deseable de enseñar. El concepto de utilidad en la
enseñanza matemática está ligado
necesariamente al concepto de futuro. Se forman ciudadanos del
mañana y profesionales del futuro a lo largo de un
proceso cada
vez más largo en el tiempo.
Lo más importante: lo extraordinariamente
inútil es aquello no adecuado ni al nivel ni a la
capacidad de el que aprende.
Por ejemplo las construcciones con regla y compás
son útiles y formativas pero son inútiles a una
edad en que no puedan manejarse manualmente y con soltura dichos
instrumentos o no esté asumida la definición de
recta y circunferencia.
En definitiva será deseable en la
enseñanza de la geometría aquello que sea
útil con rango futurible y pueda motivarse desde la
actualidad: razonar correctamente (deductivamente e
intuitivamente), representar, abstraer, relacionar, clasificar, y
resolver son verbos claves en el abanico de lo
deseable.
Por ejemplo ante la pregunta más prosaica y
utilitaria que nos puedan hacer nuestros alumnos o alumnas:
¿Para qué sirve saber el Teorema de
Pitágoras?, está ya dicho que no podemos
contentarnos con contestar que en el futuro se darán
cuenta de ello.
Dicho contenido debe tener significación para la
vida presente de las personas que desarrollarán las
actividades propuestas, deben comprender su carácter instrumental para resolver
multitud de problemas, por ejemplo de cálculo de
distancias en el plano, en los mapas, en la
realidad, y por tanto, de un tipo de conocimiento
muy específico, el geométrico, con
características muy peculiares y diferenciadoras frente a
otro tipo de conocimientos.
Esta última idea tiene que ver con el
carácter formativo de su enseñanza y no con el
meramente instrumental; de esta forma el
conocimiento matemático pierde parte del
carácter elitista que ciertamente tuvo en sus
orígenes a pesar de que realmente se caracteriza por todo
lo contrario.
También se puede recordar como en la edad media
los monjes calculistas se opusieron a la divulgación de
los algoritmos
árabes, que ahora enseñamos desde los primeros
años de la escolaridad.
De esta manera podrán apreciar como no es preciso
estar "bien dotado" para ellas, no es necesario asumir que uno no
"vale" para las matemáticas como de manera muy general se
suele pensar, sino que todas las personas que asumen y resuelven
determinadas situaciones problemáticas acaban llegando
inevitablemente a las mismas conclusiones, con las repercusiones
positivas que ello tiene para su autoestima y
para aumentar su confianza en sus propias posibilidades intelectuales.
Por todo ello, en definitiva, por su aportación a
su formación y educación tanto
teórica como práctica, además de por su
destacado papel en la evolución del mundo de las ideas y de los
modos de racionalidad subyacentes, es por lo que justificamos su
incorporación como contenido obligatorio en la
educación secundaria.
Para su introducción en el 7mo grado de la
enseñanza secundaria es necesario partir del nivel de
desarrollo del alumno, asegurando aprendizajes significativos,
posibilitando que los realicen por si mismos, mediante una
modificación de sus esquemas de conocimientos, y a
través de la realización de una intensa actividad
por su parte.
La realización de un aprendizaje
significativo exige que el alumno observe, se haga preguntas,
formule hipótesis, relacione los conocimientos
nuevos con los que ya posee, obtenga conclusiones lógicas
de las proposiciones y datos a su
alcance, etc.
El profesorado favorecerá que los alumnos se
identifiquen, inicien y desarrollen sus propios problemas
relacionados con las situaciones planteadas; en concreto, se
trataría en primer lugar, de explicarles verbalmente que
el conjunto de actividades que realizarán a
continuación están relacionadas con uno de los
conocimientos matemáticos más universales,
planteado y resuelto a través de diferentes cursos
operatorios por civilizaciones muy diversas (babilónica,
egipcia, india,
china,
arábiga, griega,…), que explica de manera abstracta y
general la relación existente entre diferentes cuadrados,
rectángulos y triángulos y que permite resolver un gran
número de problemas geométricos y algebraicos en el
plano y generalizándolo, en el espacio.
Se conoce convencionalmente como el "Teorema de
Pitágoras", y nos va a permitir adentrarnos en las
características de los conocimientos científicos,
más concretamente, matemáticos, que implican una
manera de razonar, argumentar y demostrar muy específica y
determinada, muy peculiar, la que se recoge de manera
implícita con el nombre de "teorema".
Para comenzar esta actividad el profesor debe
dividir el aula en pequeños grupos y orientar
a los alumnos construir (utilizando solo regla y compás)
los triángulos que tienen por longitud de sus lados
{(3,4,5), (6,8,10), (5,12,13), (10,24,26), (8,15,17)}
respectivamente. Luego de concluir esta tarea los alumnos deben
clasificar los triángulos obtenidos según sus
ángulos.
Es en este momento que el profesor aprovecha la
oportunidad para plantear que estas son algunas de las llamadas "
ternas pitagóricas " y que se pueden obtener a partir de
las fórmulas dadas por el famoso
filósofo-matemático Platón
varios siglos a.n.e y que solo tienen por inconveniente que con
ellas solo se obtienen ternas de números enteros [n;
(n2/4)-1; (n2/4)+1, siendo n un
número par].
Como contra ejemplo podemos mostrar el triángulo
rectángulo isósceles de lado (1), como veremos la
hipotenusa de este triángulo es un número entre 1 y
2, es decir un número irracional.
A modo de conclusión parcial se puede inferir que
existe una estrecha relación entre los catetos y la
hipotenusa de todo triángulo rectángulo. En este
momento se debe orientar el siguiente ejercicio (continuando con
el trabajo en
grupo):
– Calcule el área de los cuadrados que tienen por
longitud de sus lados (a=3, b=4, c=5), (p=6, q=8, r=10), (l=5,
m=12, n=13), (x=8, y=15, z=17) respectivamente.
a) Sumar las áreas de los cuadrados menores y
comparar con el área del mayor (en cada
trío).
Por último los alumnos deben expresar esta
relación en función de las variables
correspondientes al lado de cada cuadrado.
Después de concluido el ejercicio el profesor
debe orientar a los alumnos a la observación de las longitudes de los lados
de los triángulos construidos y las áreas de los
cuadrados para arribar a conclusiones la cual de una forma muy
acabada debe ser el teorema deseado: en todo
triángulo rectángulo la suma de las áreas de
los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al
área del cuadrado construido sobre la hipotenusa
(dicho con variables y suponiendo que estas sean a, b, c
respectivamente entonces queda que: a2 + b2
= c 2).
Luego de la obtención del teorema se debe
orientar la resolución de algunos problemas
geométricos de cálculo sencillos pues de esta
forma, mediante la situación típica "problemas", es
que mejor se puede fijar un contenido.
En este sistema de
ejercicios se debe incluir problemas que no tengan nada que ver
con los triángulos rectángulos y de hecho con el
teorema de Pitágoras para dejar muy claro que esta
relación solo se cumple para los triángulos
rectángulos, como ejemplo de los ejercicios que se deben
proponer a los estudiantes puede ser el que sigue:
Un constructor a perdido su escuadra y necesita
saber si la habitación que está trazando le ha
quedado totalmente con ángulos rectos en sus esquinas;
para esto con su cinta de medir pudo conocer que las longitudes
de los lados opuestos son 2,5m y 3,5m respectivamente dos a dos y
además las longitudes de las diagonales son 5,2m y
4,3m.
- ¿Puede usted ayudarlo aplicando para
ello los conocimientos matemáticos que
posee? - ¿Qué
haría? - En caso que no haya obtenido ángulos
rectos, y si necesariamente las longitudes de los lados tienen
que ser esas y no otras, cuál debe ser entonces la
longitud de las diagonales para obtener ángulos rectos
en todas las esquinas de la
habitación.
Es conveniente explicar a los estudiantes que en el
noveno grado se estudiará una demostración rigurosa
de este teorema (a partir del teorema de los catetos) aunque
existen muchas otras formas de demostrarlo, sin tener que
recurrir a la antes mencionada.
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Autor:
MsC. Jorge Herrera Quintana
(Profesor Asistente)
Institución: Universidad
Pedagógica de Cienfuegos.