Aproximación gráfica a la cuadratura del círculo (Con seis decimales de aproximación para el número PI) (página 2)

1. Con el compás en el origen, trazar un arco
   con radio 11.3,
   hasta cortar la recta perpendicular (10, 0)
2. Unir el punto encontrado con el origen (O) y
   prolongar esta recta oblicua.

7. Desde el origen, con radio 3.55, trazar un arco que
corte a la recta oblicua

8. Desde este punto, trazar la perpendicular al eje X.
El punto hallado será, aproximadamente el valor de Pi,
~p = 3.141592920 (Haciendo,
paralelamente, el control por
el método
analítico se encontró que se trata de una
aproximación de 2.68 * 10-7 de
centímetro).

;
Graficando esta proporción tenemos:

En la Fig. 1.2. La aproximación alcanzada para
p es hasta la sexta cifra decimal y su
exactitud en el papel dependerá de la precisión
gráfica de las cifras de la proporción, usando
sólo compás y la regla, como se ve en el procedimiento
gráfico para dividir la unidad en fracciones (el error por
exceso o resto será 3.141592920 ? 3.141592652 de
0.000000268, es decir 2.6 diezmillonésimas de
centímetro ó 2.68 * 10-7; también
26.8 * 10-8Cm =26.8 Å = 2.68 nm, que son
unidades que se utilizan a nivel molecular.

( Ånstrong, 1 Å= 10-8 cm, y 10
Å= 1 nm (nanómetros)).

Este procedimiento deriva del método del
holandés Metius que, con la
fracción:

355/113 = 3.1415929, alcanzó una
aproximación de 6 cifras decimales para p , aproximación que, según la
monografía del profesor
venezolano Dr. Juan Saba Salas,

(http://www.monografias.com/trabajos14/letrapi/letrapi.shtml),
lo había logrado calculando la media aritmética de
los numeradores y denominadores de las fracciones 377/120 y
333/106, valores
aproximados encontrados con el método de
Arquímedes. Mi alcance es haber planteado esa
fracción (355/113) como proporción, para hacer
asequible su graficación en una hoja de papel
A4.

2.- HIPOTESIS.-
Encontrar la relación entre el radio de un círculo
y el lado de un cuadrado de áreas
iguales

Tomando como premisa la igualdad entre
las áreas de un polígono de n lados y su
círculo de igual área (isoárea), el autor ha formulado el teorema
siguiente:

TEOREMA.- "En todo polígono regular de n
lados, la razón entre el lado del polígono y el
cuadrado del radio de su círculo de igual área, es
constante e igual a 2p entre el
número de lados del polígono regular y el apotema
de este".

(r
del círculo isoárea)2 ;

Haciendo que: y sustituyendo

Tendremos otro modo de expresar el teorema: "la
cuadratura entre un círculo y un polígono
cualquiera es posible si la razón entre el lado del
polígono, al radio de su círculo de igual
área es constante e igual a:

Siendo, para el polígono cuadrado, n = 4; Apotema
= mitad del lado, (L/2), y si el área del círculo =
área del cuadrado = ; lado del cuadrado = entonces sustituyendo:

,
entonces:

L = r
isoárea;

Donde L = lado del cuadrado y r = radio del
círculo de igual área que el cuadrado.

Con lo que el problema se reduce a la función
lineal

Y = X

Lo que nos permite formular el teorema
siguiente:

Teorema: Si la relación constante entre el
lado de un polígono cuadrado al radio de un círculo
es , entonces, el
polígono cuadrado y el círculo tiene áreas
iguales.

En estas condiciones, se hace necesario buscar un
método gráfico para encontrar la Raíz
cuadrada del número Pi, que ya tenemos gráficamente
aproximado con seis decimales.

Luego de muchos intentos el autor ha encontrado estos
dos caminos:

3.-
OBTENCIÓN GRÁFICA DE ,

3.1.-PRIMER MÉTODO DE
APROXIMACIÓN

Fig. (1.7)

Procedimiento.

2. Ubicar p en el eje Y del
   plano cartesiano.
3. Ubicar los puntos F=(0,1/4) y D=(0,-1/4)
4. Tomando como radio el segmento (p +1/4), trazar desde F el punto P1,
   intersecando la recta Y=p
   .
5. La proyección de P1 sobre el eje X
   será: .

Hallando el segmento X por el teorema de
Pitágoras.

3.2.- OBTENCIÓN GRAFICA DE , SEGUNDO MÉTODO DE
APROXIMACIÓN

Fig. (1.7b, 1.7c).

Procedimiento.

2. Graficar p con nuestro
   método gráfico (Figs. 1.1, 1.2)
3. Graficar el diámetro AB = 1+p y ubicar los segmentos AD=1, y DB
   =p .
4. Graficar el punto medio (O) del diámetro AB,
   y, con el radio AO = OB, trazar la semicircunferencia
   AB.
5. Trazar la perpendicular al diámetro AB en el
   punto D: El segmento CD
   será =

En el gráfico 1.7b., el triangulo ABC, con
segmentos AD =1; DB= y la altura CD = , he nominado "Triángulo de
Gutiérrez Samanez", por la importancia que tiene
para la realización de la cuadratura del
círculo.

Haciendo uso del Teorema de la Altura en las relaciones
métricas en el triángulo rectángulo que
reza:

"En todo triángulo rectángulo la longitud
de la altura es media proporcional entre los segmentos que son
las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la
hipotenusa".

En el gráfico que sigue, la altura (CD) del
triángulo ABC será "medio proporcional" a los
segmentos AD y DB.

Es decir , que sustituyendo valores da la
proporción

Entonces: (CD)2 = AD x DB = 1 x p ; por lo tanto, CD =

Con este método se puede graficar la raíz
cuadrada de cualquier número X.

Recíprocamente, el cuadrado de cualquier
número.

4.-
Gráfico de la CUADRATURA DEL CÍRCULO (Con el
número Pi, "aproximado")

4.1.- GRÁFICO DE LA CUADRATURA DEL
CÍRCULO

Con estos alcances trazamos el gráfico que
sigue:

Del gráfico 1.12 podemos dibujar.

a) Dado el radio r en X (1.5 cm. para el ejemplo),
encontrar el lado del cuadrado en Y, y dibujar ambas figuras.
Estas tendrán áreas iguales.

Fig. 1.13

b) Dado el lado del cuadrado, en Y, hallar el radio del
círculo de igual área en X. Luego dibujar ambas
figuras geométricas, cuyas áreas serán
iguales.

Evidentemente se puede generalizar para círculos
de cualquier radio X y cuadrados de cualquier lado Y.

4.2.- LA CUADRATURA DEL CÍRCULO EN 14
PASOS

Para este efecto se sigue los pasos
siguientes:

1.- Trazar el plano cartesiano con la recta
horizontal (eje X) y otra perpendicular (eje Y) con origen en
el punto (0,0). (Fig. 1.2).

2.- Tomar un valor unitario arbitrario (un
centímetro, por ejemplo) y con él, dividir la
recta X, en doce partes.

3.- Ubicar por paralelismo los puntos (3.55, 0)
y (11.3, 0)

4.- Trazar la recta auxiliar perpendicular a X
en el punto (10, 0)

5.- Con el compás en el origen, trazar
un arco con radio 11.3, hasta cortar la recta perpendicular
(10, 0)

6.- Unir el punto encontrado con el origen (O)
y prolongar esta recta oblicua.

7.- Desde el origen, con radio 3.55, trazar un
arco que corte a la recta oblicua

8.- Desde este punto, trazar la perpendicular
al eje X. El punto hallado será, aproximadamente el
valor de Pi, ~p = 3.141592920
(Haciendo, paralelamente, el control por el método
analítico se encontró que se trata de una
aproximación de 2.68 * 10-7 de
centímetro)

9.- Se ubica el punto: (p +1) en X y con el compás se toma la
mitad de su magnitud

10.- Con la mitad de (p +1) como radio y desde ese punto medio se
traza una semicircunferencia.

11.- Se traza la vertical x = 1, hasta cortar
la semicircunferencia. El valor de este segmento será

12.- Uniendo el origen y el punto (1,), se traza la
función Y=X

13.- Se trazar un círculo de cualquier
radio X, (por ejemplo si r =1, cuyo área será =
p )

14.- Se trazar un cuadrado de lado Y, (por
ejemplo si L=
, cuyo área será también = p )

Por lo tanto, cualquier círculo trazado con
radio X, será isoárea del cuadrado de lado Y, a
través de la función Y=X.

4.3.- TEOREMA DE LA CUADRATURA DE G.S. Y EL TEOREMA
DE PITÁGORAS.

Partiendo el teorema de Pitágoras y el
método para obtener gráficamente la mediante el
"Triángulo de Gutiérrez Samanez", se
tiene.

Teorema de Pitágoras

Teorema de GS para la cuadratura del
círculo

"En el Triángulo de G.S. (ABC), el
círculo cuyo radio es el cateto menor, es isoárea
del cuadrado cuyo lado es el cateto mayor".

En el triángulo ACD el círculo de Radio
AD es isoárea del cuadrado de lado CD.

En el triángulo BCD el círculo de radio
CD es isoárea del cuadrado de lado DB.

En el triángulo ABC el círculo de radio
AC es isoárea del cuadrado de lado CB.

(Fig. 1.15c)

4.4.- DIBUJO
SIMPLIFICADO DE LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

Para un círculo de radio p , se halla en Y. (Por cualquiera de los dos métodos
arriba expuestos)

Desde el origen pasando por la intersección (1,
), se traza la
función lineal oblicua

Y =X.

La intersección con la vertical X = p será, en Y, el lado del cuadrado de
igual área que el círculo de radio p . El área de ambas figuras será =

Fig. 1.16

5.-
GRÁFICO DE LA RECTIFICACIÓN DE LA
CIRCUNFERENCIA

(CON EL NÚMERO PI,
"APROXIMADO")

2. LA RECTIFICACIÓN A PARTIR DE LA
   FUNCIÓN LINEAL

TEOREMA.- "En todo polígono regular de n
lados, la razón entre el lado del polígono al radio
de su circunferencia isoperímetra es constante e igual a
2p entre el número de lados del
polígono regular".

Perímetro del polígono = Perímetro
del Círculo

n L = 2 p r iso ;
Entonces: ; como
n = 4 (para el caso del cuadrado)

.
Entonces, para

Expresión que puede generalizarse a: Y =
p /2 X

Que se representa en el gráfico inferior, y da
lugar a formular el teorema siguiente:

Teorema:

Si la relación constante entre el lado de un
polígono cuadrado y el radio de un círculo es la
mitad del valor de ; entonces, el polígono cuadrado y el círculo
son isoperímetros.

1. En el gráfico (1.18), dado el valor del radio
   de la circunferencia isoperímetra, se halla el lado del
   polígono (cuadrado) isoperímetro. (Fig. 1.19). El
   perímetro de ambas figuras es
   idéntico.

Igualmente del gráfico 1.18, dado el valor del
lado del polígono regular o cuadrado, se halla el radio
del círculo isoperímetro y se grafica. Ambas
figuras tienen igual perímetro.

5.2 LA RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN
12

PASOS

1. Trazar el plano cartesiano con la recta
horizontal (eje X) y otra perpendicular (eje Y) con origen en
el punto (0,0). (Fig. 1.2).

2. Tomar un valor unitario arbitrario (un
centímetro, por ejemplo) y con él, dividir la
recta X, en doce partes.

3. Ubicar por paralelismo los puntos (3.55, 0) y (
11.3, 0)

4.-Trazar la recta auxiliar perpendicular a X en el
punto (10, 0)

5. Con el compás en el origen, trazar un arco
con radio 11.3, hasta cortar la recta perpendicular (10,
0)

6. Unir el punto encontrado con el origen (O) y
prolongar esta recta oblicua.

7. Desde el origen, con radio 3.55, trazar un arco
que corte a la recta oblicua

8. Desde este punto, trazar la perpendicular al eje
X. El punto hallado será, aproximadamente el valor de
Pi, ~p = 3.141592920
(Haciendo, paralelamente, el control por el método
analítico se encontró que se trata de una
aproximación de 2.68 * 10-7 de
centímetro).

9. Dividir con el compás y regla el segmento
~p para encontrar el valor
aproximado de (Fig. 1.2) y con el compás, ubicar en el eje Y de plano
cartesiano. (Fig. 1.18)

10. Encontrar la intersección (1, ) y graficar la
función Y=X (Fig. 1.18) (Fig. 1.21)

11. Con el compás trazar un círculo de
radio x (por ejemplo r=1, su perímetro será =
2p ).

12. Trazar un cuadrado de lado y, imagen de x
en el eje Y, (para el ejemplo = y su perímetro será = 2p ).

Por lo tanto, cualquier círculo de radio X, y
su correspondiente cuadrado de lado Y, serán
isoperímetros

5.3 TEOREMA DE LA RECTIFICACIÓN CON EL
TRIÁNGULO DE G.S.

Teorema: "En el triángulo de G.S. ACD, el
círculo cuyo radio es el cateto menor será
isoperímetro del cuadrado cuyo lado es el cateto
mayor".

En el triángulo ABC, el círculo de radio
AB es isoperímetro del cuadrado de lado CB.

En el triángulo CBD, el círculo del
radio CB es isoperímetro del cuadrado de lado
BD.

En el triángulo ACD, el círculo del lado
AC es isoperímetro del cuadrado del lado CD.

5.4.- DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA RECTIFICACIÓN
DE LA CIRCUNFERENCIA CON

En la Fig. 1.22, el círculo del radio y perímetro
es
isoperímetro del cuadrado del lado y perímetro

Fig. 1.22

6.-
RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON EL "TEOREMA DE
EUSEBIO CORAZAO"

6.1.- RELACIÓN ENTRE LOS TEOREMAS DE CORAZAO Y
EL PROBLEMA DE LA RECTIFICACIÓN DE LA
CIRCUNFERENCIA.

En la relación de un círculo de r = 1 y el
cuadrado que le circunscribe tenemos los datos
siguientes:

Circulo Inscrito Polígono Círculo
Isoperímetro

Según el Teorema del Dr. Eusebio Corazao (8), el
área del círculo isoperímetro del cuadrado,
será, el cuarto termino de la
proporción:

p : 4 = 4: ? ;

El cuarto término será =

Que es el valor del área del círculo
isoperímetro al polígono (cuadrado) lo que se
prueba del modo siguiente:

Perímetro = 8 = 2p
riso r iso = 4/p

Área del círculo isoperímetro =
p (r iso)2 =

entonces , es decir se cumple que: "El área del
polígono es medio proporcional entre el círculo
isoperímetro y su círculo inscrito". (Teorema de
Corazao).

6.2.- HALLANDO ESA "COMBINACIÓN
GEOMÉTRICA FELIZ"

QUE BUSCABA CORAZAO.

Dividiendo entre p la
proporción anterior, el Dr. Corazao halló el
número 16/p 2 que es
la relación del área del círculo
isoperímetro al número p
, e intuyó que, de construirse geométricamente esta
expresión, "por alguna combinación
feliz"…"quedaría hallado el círculo
isoperímetro al cuadrado (de perímetro 8) es decir,
conseguida la rectificación de una
circunferencia".

Así:

Relación de proporcionalidad que enunciamos como
un nuevo Teorema:

Teorema: "El radio de un círculo
isoperímetro de un cuadrado (4/p ), es medio proporcional entre la unidad y el
cuadrado de dicho radio del circulo isoperímetro o la
relación entre el área del círculo
isoperímetro (16/p ) al
área del círculo inscrito al polígono
(cuadrado) (p )".

Para generalizar el teorema para cualquier cuadrado se
multiplicara por el valor del apotema y la relación
quedara así:

Aplicando nuestro método grafico basado en el
Teorema de la altura del triángulo rectángulo que
es media proporcional entre las proyecciones de sus catetos sobre
la hipotenusa y teniendo el valor aproximado de p podemos
encontrar gráficamente los valores de
16/p y 16/p 2 en las Figs. 2.8 y 2.9 con
estos valores dibujamos la Fig. 2.10, trazando la función
Y=4/p X, en el punto (p ,4), automáticamente, aún
sin saber los valores numéricos, la imagen de X=1 en Y
será 4/p y la imagen de X=4/p en Y será,
obviamente, 16/p 2:

Fig. 2.8

Al construir este gráfico muestro descubierta la
"combinación feliz" que buscaba el Doctor Corazao
hace cien años; por esta razón he convenido en
llamar a su valor:

número de Corazao = = 1.621 que analíticamente
resulta de las siguientes relaciones:

El numero de Corazao relaciona los cuadrados de los
radios isoperímetro e inscrito.

La relación incógnita del Dr. Eusebio
Corazao (16/p : p = 16/p 2) es, como
vimos, la razón entre el área del círculo
isoperímetro del polígono (cuadrado en este caso)
al área del círculo inscrito al polígono y
es igual al cuadrado del radio del círculo
isoperímetro, pues es la razón entre los cuadrados
de los radios del círculo isoperímetro y el
círculo inscrito.

Sacando la raíz cuadrada tenemos la
expresión:

Generalizando, riso = K rins ;
donde k es el inverso de la constante de proporcionalidad que he
llamado de Gutiérrez Samanez (Nº de G.S.), que es
diferente para cada polígono.

En el caso del cuadrado, si el radio inscrito = 1,
entonces:

y la
ecuación es: rins.

Expresando en coordenadas cartesianas
será:

4/p = 1.2732, es el inverso de la constante de
proporcionalidad (GS) entre los radios de los círculos
isoperímetros en función de los radios de los
círculos inscritos.

Tabulando.

6.3.- TEOREMA DE CORAZAO EXPRESADO COMO
FUNCIÓN:

"Si la relación constante entre el radio de
cierto círculo y el radio de otro círculo inscrito
en un polígono cuadrado es , entonces, el polígono cuadrado y el
primer círculo son isoperímetros".

Esto da lugar a otra forma de expresar el teorema de
Corazao para nuestro caso:

TEOREMA:

"La razón entre el área de un
polígono regular de n lados al área de su circulo
inscrito, es medio proporcional entre la unidad y la razón
entre el área del círculo isoperímetro del
polígono al área del círculo inscrito en
dicho polígono".

Lo que analíticamente ocurre, si el radio del
círculo inscrito o apotema del polígono fuera la
unidad:

, donde
es el valor del
área del círculo isoperímetro buscado

Para la generalización del teorema para todo
polígono regular de n lados, con apotema o radio del
círculo inscrito diferente de la unidad, multiplicamos
toda la expresión por el valor del apotema,
así:.

De donde resulta que el área del círculo
isoperímetro es:

De esta relación se deduce que, si el apotema o
radio del círculo inscrito es igual a 1, el área
del círculo isoperímetro será igual a
16/= 5.0929. (Fig. 2.7)

Hallada geométricamente este magnitud, aún
sin conocer su valor numérico, y tomándola con el
compás de la Fig. (2.8) es fácil encontrar el radio
isoperímetro, usando las Figs. (2.9 y 2.10) y, con el valor obtenido, se
traza la circunferencia isoperímetra del cuadrado de
perímetro 8, con lo que se resuelve el
problema.

Área del círculo isoperímetro
16/= 5.0929.

Radio del círculo isoperímetro

Perímetro de la circunferencia
isoperímetra.

Proporción de Radios

Proporción de
Áreas

En el gráfico 2.12. El área del
polígono cuadrado (b) es medio proporcional entre al
área de su círculo inscrito (a) y su círculo
isoperímetro (c), conforme al Teorema del Dr. Eusebio
Corazao.

6.4.- DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA RECTIFICACIÓN
DE LA CIRCUNFERENCIA CON EL TEOREMA DE CORAZAO

A un círculo de radio p , se circunscribe un cuadrado de lado
2p .

Desde el origen (0,0) pasando por el punto (p , 4) se traza la función lineal oblicua
Y= X.
Cuando X = p , el valor de Y, (radio
de la circunferencia isoperímetra del cuadrado),
será igual a 4.

Se cumple que el área del cuadrado es medio
proporcional entre el área del círculo inscrito en
él y el área de su círculo
isoperímetro.

Fig. 2.13

7.-
REFERENCIAS.

BIBLIOGRAFIA Y
DOCUMENTACION

1.-"La Cuadratura del Círculo.
¡Sí, es posible!", Ing. Julio Antonio
Gutiérrez Samanez, Cusco ?Perú, 2005, (ISBN:
9972-33.239.X)

2.-
http://www.monografias.com/trabajos14/letrapi/letrapi.shtml)

del Dr. Juan Saba Salas.

4.- "Matemáticas" de D. Bergamini (Libros Time.
USA, 1969)

5.- "Geometría" de J. E. Thompson, Uteha,
México 1961,

6.- "Las grandes corrientes del pensamiento
matemático" de Francois Le Lionnais (Eudeba, Argentina
1965).

7.- "Diccionario
de la Ciencia y
Tecnología" Ed. Planeta, España,
2001.

8.- El matemático cusqueño Dr.
Eusebio Corazao Quintanilla, publicó en 1905 el
teorema siguiente:

"Todo polígono regular en medio proporcional
entre el círculo inscrito en él y su
círculo isoperímetro", con lo que facilitó
la aproximación a la solución analítica
del problema de la Rectificación de la Circunferencia.
Después de un siglo, el autor del presente trabajo
descubre el método que posibilita expresar
gráficamente ese teorema, que aproxima a la
solución generalizada de dicha
rectificación.

9.- Ver nuestro trabajo: "CÓMO GRAFICAR EL
NÚMERO Pi, con seis decimales":

/trabajos34/graficando-numero-pi/graficando-numero-pi.shtml

NOTA.- La numeración de los gráficos corresponde a la de nuestro
libro
(referencia 1).

AGRADECIMIENTO

-Al Diseñador Gráfico Rigoberto
Condori.

Autor:

Julio Antonio Gutiérrez Samanez

(Ingeniero Químico, nacido en Cusco, 1955,
escritor, investigador, ceramista y consultor en diseño
de productos
artesanales. Es, también, dibujante técnico y
artista plástico
profesional)

Cusco, Perú
Junio, 2006