Unidad 5: Transformaciones Lineales
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Algebra linealUNIDAD 5: Transformaciones lineales
5.1 Introducción a las transformaciones lineales.
5.2 Núcleo e imagen de una imagen de transformación lineal.
5.3 La matriz de una transformación lineal
5.4 Aplicaciones de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.
MAYO 2012
5.1 Introducción a las transformaciones lineales. Una transformación lineal, TL, es una función, correspondencia, asignación o transformación asociada a un sistema lineal de ecuaciones por medio de una matriz. Definición de Transformación Lineal. Sean V y W vectores reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v є V un vector único T v є …ver más…
5.2 Núcleo e imagen de una imagen de transformación lineal. Sea una transformación lineal El conjunto de vectores que se apachurran totalmente por T se llama espacio nulo, núcleo o kernel de T , denominado nu T, y su dimensión se denomina nulidad. El conjunto formado por todas las imágenes de T se denomina el espacio imagen, denominado Im T, y su dimensión se denomina rango. Esto es: Sean V y W dos espacios vectoriales y sea Una transformación lineal, entonces. 1.- El núcleo de T, denominado nu T, está dado por. 2.- La imagen de T, denominada Im T, está dado por. Adicionalmente, si.
Es una transformación lineal, entonces. 1.- nu T es un subespacio de V. 2.- Im T es un subespacio de W. 5.3 La matriz de una transformación lineal Si A es una matriz de m x n y está definida por:
Entonces, T es una transformación lineal. Para toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de m x n tal que: De esta manera, es posible determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn en Rm determinando el núcleo y la imagen de la matriz correspondiente. Además, al conocer que. Es posible evaluar T x para cualquier x en Rn mediante multiplicación de matrices. Finalmente, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz. Teorema 1.
Sea una