ITESA

Nombre del alumno: Luis Alberto Valencia Pérez.

Materia: Algebra lineal.

Unidad: 5.

Carrera: Ingeniería Electromecánica.

Maestro: Joel Fuentes

Transformaciones lineales

Introducción.

En esta lectura se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.

En los cursos básicos relativos a ecuaciones vimos que la solución a la ecuación
F(x) = 0

Podría entenderse como los puntos donde la grafica de la función f(x) corta el eje de las x’s:

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Esta idea de corte de la grafica de f(x) con la recta y = a da pie a métodos gráficos de solución de ecuaciones y también …ver más…

Solución

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Entonces.

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Por otro lado, para todo escalar c,

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Como se cumplen las 2 condiciones:

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T es lineal.

Núcleo e imagen de una transformación lineal

Sea T: V →W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W.

Ker (T) = {v ∈V |T (v) = 0 ∈W

Ejemplo
Indique cuales opciones contienen un vector en el núcleo de la transformación de R3 en R3 definida como
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Dentro de las opciones ay:
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Solución
Antes de pasar a la verificación, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal que T(x) = A摯...x. Es decir, aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector x.
Empecemos con la dimensión de A: como A se multiplica por la izquierda de x y x ∈R3 entonces el número de columnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A x es un vector de R, entonces el número de renglones de A es 3. Si requerimos que

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No es difícil ver

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Es decir que

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El vector v1 esta en el núcleo de T debido a que

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El vector v2 esta en el núcleo de T debido a que

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El vector v3 no esta en el núcleo de T debido a que

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El vector v4 esta en el núcleo de T debido a que