1 Universidad Tecnol´gica de Bol´ o ıvar Facultad de Ciencias B´sicas a Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias TALLER I Apellidos: c´digo de Estudiante: o Profesor: Nombre Edgardo Alvarez Pardo

1. Un tanque contiene 500 galones de una soluci´n de agua salada que contiene 0.05 lio bras de sal por gal´n de agua. Agua pura es vertida en el tanque y drena en el fondo o del tanque de modo que el volumen permanece constante. ¿A que raz´n R gal/min o deberia ser vertida el agua el tanque para tener una concentraci´n de sal C de 0.01 o lib/gal en una hora? (AYUDA: plantee una ec. diferencial para encontrar primero la concentraci´n C en terminos de R) o 2. Un fluido contaminado cae en un gran contenedor con volumen V a raz´n de a litros o por …ver más…

o o

6. La ecuaci´n diferencial o (5xy 2 − 2y) dx + (3x2 y − x) dy = 0 no es exacta. Sin embargo tiene un factor integrante de la forma µ(x, y) = xa y b para algunos enteros positivos a y b. Use las condiciones de exactitud para hallar dichas constantes y resuelva la ecuaci´n diferencial. o 7. Resuelva las siguientes ecuaciones encontrando un factor integrante. (a) x2 y 3 dx + x(1 + y 2 ) dy = 0; (b) (2y 2 − 6xy) dx + (3xy − 6x2 ) dy = 0; x (c) (12 + 5xy) dx + 6 + 2x2 y y (d) 2 dx + x (e) y2 −1 x2 dy = 0; cos y + 2e−x cos x y

dy = 0;

sin y − 2e−x sin x y

dx +

dy = 0;

8. Halle la soluci´n general las siguientes ecuaciones diferenciales usando una sustituci´n o o apropiada (a) 3(1 + t2 ) dy = 2ty(y 3 − 1); dt

(b) (2x − 5y + 3)dx − (2x + 4y − 6)dy = 0; dy 1−x−y = ; dx x+y

(c)

3 dy = sin(x − y); dx

(d)

(e) (y − xy 2 ) dx − (x + x2 y) dy = 0; (f) (x − 2 sin y + 3) dx + (2x − 4 sin y − 3) cos y dy = 0; (g) (x2 cos y) dy = 2x sin y − 1; dx

9. Halle la soluci´n de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial o (a) (x2 − 1) (b) x2 dy + 2y = (x + 1)2 , y(0) = 1; dx

dy − 2xy = 3y 4 , y(1) = 0.5; dx

(c) cos y dx + (1 + e−x ) sin y dy = 0, y(0) = π ; 4 10. Investigue las ecuaciones de Riccati y Clairaut. Demuestre como se obtiene la soluci´n o y proporcione dos ejemplos de cada una. 11. Consultar los modelos no lineales: Modelos Demogr´ficos (Ecuaci´n Log´ a o ıstica) y