Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento de Nuestra Diversidad

CURSO: MATEMÁTICA II

TÍTULO: ECUACIONES DIFERENCIALES Y APLICACIONES

AUTORES:

AÑO 2012

INTRODUCCIÓN:

Es conocido para muchos que las ecuaciones diferenciales constituyen una parte fundamental de las Matemáticas, tanto desde un punto de vista puramente teórico como desde un enfoque más aplicado; por ello, es fundamental su estudio en todas las carreras científicas y técnicas.

En este trabajo desarrollaremos una aproximación a la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, bajo un formato de rápida y sencilla comprensión.

En términos sencillos, una ecuación diferencial ordinaria, EDO en lo sucesivo, es una identidad en la que …ver más…

La expresión obtenida es la solución general de la ecuación diferencial. Puede suceder que en dicha expresión no podamos despejar la variable y; en tal caso se dice que la solución está dada en forma implícita.

Ejemplo 1.
Consideremos la ecuación diferencial y’ = 2xy, que es de variables separables. Para resolverla, separamos las variables e integramos:

dydx = 2xy ⇒ dyy = 2xdx ⇒ ∫ dyy = ∫2xdx ⇒ ln(y) = x2 + c,

Siendo c una constante de integración. Despejemos la variable y:

y = ex2+c = ex2ec

Por último, renombrando la constante ec como una constante arbitraria C, obtenemos la solución general de la ecuación:

y = Cex2

Ejemplo 2.

Consideremos la ecuación en forma diferencial

xy dx + e-x2 (y2 - 1) dy = 0.

Podemos separar las variables como sigue:

1-y2ydy = xex2dx

Integrando, obtenemos la solución general:

1-y2ydy= xex2dx ⇒lny- y22= ex22+c

En este caso no podemos despejar la variable y, por lo que debemos conformarnos con la solución general en forma implícita

Ejemplo de una solución implícita:

Y nos dicen que la expresión x2 + y2 – 4 = 0 , es solución

Entonces derivamos la expresión con respecto a x:

2x + 2y.dy = 0 dx 2y. dy = - 2x dx