Introducci´n a las ecuaciones o diferenciales ordinarias
Noem´ Wolanski ı

α/β

γ/δ
Diagrama de fases para dos poblaciones simbi´ticas o

´ Indice General
Preliminares Cap´ ıtulo 1. Introducci´n o 1. Generalidades. 2. Descripci´n de algunos m´todos de resoluci´n de ecuaciones de 1er. orden. o e o Ejercicios Cap´ ıtulo 2. Existencia y unicidad de soluci´n o Ejercicios Cap´ ıtulo 3. Sistemas lineales de 1er. orden y ecuaciones lineales de orden n 1. Generalidades y sistemas homog´neos e 2. Sistemas no homog´neos e Cap´ ıtulo 4. Resoluci´n de sistemas lineales con coeficientes constantes o Ejercicios Cap´ ıtulo 5. Ecuaciones lineales de orden n con coeficientes constantes Ejercicios Cap´ ıtulo 6. Comportamiento asint´tico de las …ver más…

Por lo tanto, log x = t + log a x = et+log a = aet . Vemos que a distintos datos iniciales le corresponden distintas soluciones y adem´s, si son a distintas en t = 0 son distintas para todo t. Veremos m´s adelante que este hecho es una a propiedad general de las soluciones de ODE que dice que dos trayectorias de part´ ıculas diferentes no se cortan. Veamos otro ejemplo de sistema de ecuaciones. Supongamos que tenemos una part´ ıcula de masa unitaria sujeta a un campo de fuerzas F = (F1 , F2 , F3 ). Entonces, como la fuerza es la masa por la aceleraci´n, si σ(t) es la trayectoria o de la part´ ıcula, se verifica σ (t) = F (t, σ(t)) para todo t. Es decir,   x = F1 (t, x, y, z),  y = F2 (t, x, y, z),   z = F3 (t, x, y, z).

Ahora bien, si llamamos x0 = x , x1 = x , y0 = y , y1 = y , z0 = z , z1 = z . Entonces, obtenemos el siguiente sistema de primer orden:   x0 = x1 ,    x = F (t, x , y , z ),  1  1 0 0 0     y = y1 , 0   y1 = F2 (t, x0 , y0 , z0 ),      z0 = z1 ,    z1 = F3 (t, x0 , y0 , z0 ). Este mismo enfoque permite tratar el caso en que el campo de fuerzas depende de la velocidad (x , y , z ). Esto es as´ cuando, por ejemplo, hay alg´n tipo de fricci´n (como la resistencia del ı u o aire). Esta fuerza de fricci´n es proporcional a la velocidad y con sentido opuesto. De modo o que en general la fuerza ser´ de la forma F = F (t, x, y, z, x , y , z ) y tendremos (reordenando las a ecuaciones)   x0 = x1 ,   y = y ,  0  1