GUIA 4

Algunas aplicaciones de la ecuaciones diferenciales de primer orden
1. Procesos de crecimiento y declinaci´n. o
Primero estudiaremos el modelo

dx = a x, dt con a constante. La cantidad x puede ser El tama˜o de una poblaci´n que var´ seg´n una ley de Malthus n o ıa u dx = a x. dt La cantidad de una sustancia radioactiva, como uranio, que se desintegra espont´a neamente seg´n la ley u dx = a x, (a < 0). dt La cantidad de dinero en una cuenta sobre la cual se paga inter´s compuesto continuo e a una tasa anual de inter´s a (En este caso el tiempo t se mide en a˜os). e n Ejercicios 1. La poblaci´n de Cali era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 mill´n en 1,985 o o (t = 35). Si en cada instante crece con rapidez …ver más…

Por eso se les denomina soluciones a n de equilibrio. Los gr´ficos de xE y xI (ver figura 1) son rectas horizontales que dividen al a plano tx en tres regiones a a , R3 = {(t, x) | x < 0} , R1 = (t, x) | < x , R2 = (t, x) | 0 < x < b b 2 a, b constantes positivas,

R1 xE = R2 xI = 0 R3 Figura 1: Soluciones de la ecuaci´n (1) o tales que el gr´fico de cualquier soluci´n no constante x = x(t) de (1) permanece confinado a o en una y s´lo una de estas regiones. De lo contrario, el gr´fico de una soluci´n no constante o a o intersecar´ el gr´fico de una soluci´n constante de (1) lo que ser´ una contradicci´n al ıa a o ıa o Teorema Fundamental. Abordaremos ahora el problema de determinar cu´ndo las soluciones de (1) son crecientes. a Recordaremos que una funci´n derivable es estrictamente creciente cuando su derivada es o o positiva. De otro lado, la ecuaci´n diferencial (1) da una relaci´n entre la derivada dx y los o dt valores que toma la funci´n x(t). Como toda soluci´n no constante permanece en alguna de las o o regiones R1 , R2 o R3 es natural estudiar cada caso por separado. Observamos que la soluci´n o permanece en la regi´n a la que pertenece la condici´n inicial (t0 , x0 ). En consecuencia, esta o o regi´n est´ determinada por el valor de x0 . o a Si a < x0 , entonces el gr´fico de la soluci´n x = x(t), t ∈ I estar´ contenido en R1 . a o