Lcda. Mercedes Alcalá
Sección: VII Mecánica
QUINTA GUIA
UNIDAD IV: INTEGRALES MULTIPLES. (Cont.)
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE AL CÁLCULO DE VOLÚMENES
Volumen
Así como se interpreta geométricamente la integral de una función de una variable en términos del área de una región plana, la integral doble puede interpretarse geométricamente en términos del volumen de un sólido tridimensional. Suponga que la función f es continua en una región cerrada R.
Puede utilizarse una integral doble para calcular el volumen de una región sólida comprendida entre la superficie dada por z=fx,yy el plano.
Volumen de una región sólida
Si f es integrable sobre una región plana R y fx,y≥0 para todo x,y en …ver más…

Resp.- 10 2. Hallar la masa de la lámina correspondiente a la porción del primer cuadrante del círculo x2-y2=4 si la densidad en el punto x,y es proporcional a la distancia del punto al origen. Resp.- 4πk3
Centro de masa de una lámina Conocer el centro de masas de una lámina es útil en muy diversas aplicaciones, porque permite tratar la lámina como si toda su masa estuviera concentrada en ese punto. El centro de masa es el punto de equilibrio de la lámina. Para calcular el centro de masas se hace necesario el cálculo de los momentos Mx, My.
Primeros momentos Es el momento de masa de una lámina con respecto a un eje. Si el elemento representativo de masa dm de una masa distribuida continuamente sobre alguna región R del plano xy se toma como dm=δx,ydydx dm=δx,ydA
Donde δ=δx,y es la densidad en el punto x,y de R, entonces puede utilizarse una integral doble para calcular a) El primer momento de la masa respecto al eje x: Mx=yδx,ydA b) El primer momento respecto al eje y: My=xδx,ydA c) Centro de masa: Cm=x,y=Mym,Mxm
Segundos momentos o momentos de inercia:
El momento de inercia es una medición de la resistencia al cambio en el movimiento de rotación. Se obtiene utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias x e y del “brazo de palanca”. El momento de inercia de un eje grande es lo que dificulta el inicio de su movimiento de rotación.
Además de su importancia en relación