5.1 Introducción

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema …ver más…

Se llama integral de línea de F sobre a la integral:
Una forma más utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así:
Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:
Trabajando Integrales de Línea

A la hora de trabajar integrales de línea debemos, considerar los siguientes pasos, para realizar con éxito nuestro cálculo:
Primero debemos parametrizar la curva sobre la cual estamos trabajando:
Luego trabajamos la función a evaluar, sustituyendo el resultado de la parametrización en dicha función. E integramos:

Luego sustituimos dS por:
Teniendo así lo siguiente:
Ejercicio 1 • Evaluar la integral de línea del campo vectorial sobre la trayectoria de una hélice

Solución: Se resuelve la integral de acuerdo a la definición

Ejercicio 3
Un hombre de 160 libras lleva una cubeta de pintura de 25 libras a lo alto de un tanque a través de una escalera helicoidal. La escalera tiene 20 pies de radio. Al alcanzar la altura máxima de 90 pies del tanque la escalera ha dado tres vueltas completas. Calcule el trabajo realizado para llevar la cubeta hasta lo más alto del tanque.
'Solución'
Sabemos que al dar tres vueltas completas llegaremos a alcanzar 90 pies. De esto establecemos una relación y encontramos que 6πz=90t, por lo tanto z=15/πt. También conocemos la fuerza que va en dirección de z y son 185 lb.