5.5 INTEGRAL TRIPLE
La definición de integral triple es análoga a la de integral doble. En el caso más simple consideremos una caja rectangular R acotada por 6 planos x= a0, x= a1, y = b0, y = b1, z = c0, z = c1; y sea u = f(x,y,z) una función de tres variables definida en todo (x,y,z) de R.
Subdividimos el espacio en cajas rectangulares mediante planos paralelos a los planos coordenados. Sean B1, B2,......, Bn aquellas cajas de la subdivisión que contienen puntos de R.

------------------------------------------------- z z = c1
-------------------------------------------------
c1
-------------------------------------------------

------------------------------------------------- …ver más…

Elegimos un punto Pi(i, i, i) en Bi, esta elección se puede hacer en forma arbitraria.
La suma es una aproximación de la integral triple.
La norma de subdivisión es la longitud de la mayor diagonal de las cajas B1, B2,....., Bn.
Si las sumas anteriores tienden a un límite cuando la norma de la subdivisión tiende a cero y para elecciones arbitrarias de los puntos Pi, a este límite lo llamaremos la

INTEGRAL TRIPLE DE f SOBRE R

La expresión: se utiliza para representar el límite.
Así como la integral doble es igual a dos integrales iteradas, también la integral triple es igual a tres integrales iteradas.
Para el caso de la caja rectángular R obtenemos:
Suponemos ahora que una región S está limitada por los planos x = a0; x = a1; y = b0; y = b1 y por las superficies z = r(x,y), z = s(x,y).
La integral triple se puede definir de igual forma

TEOREMA

Sea S una región definida por las desigualdades: S:{P(x,y,z)/a x b; p(x) y q(x); r(x,y) z s(x,y) donde las p ; q ; r y s son continuas. Si f es una función continua en S, tenemos:

Las integrales iteradas se efectúan considerando todas las variables constantes, excepto aquella respecto a la cual se integra. Este concepto se puede extender a n variables. EJEMPLO 1: Calcular la siguiente integral triple

EJEMPLO 2: Calcular la siguiente integral triple

5.6 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS En este sistema de coordenadas, el sólido más simple es un bloque