Problemas de calculo

Vamos a ver ahora como se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x,y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x,y); esto es,
F(x,y)= 1, o
F(x,y)= y,
Cuando se trate de calcular el área, o el momento del área respecto al eje x.
La notación
"A" F(x, y)dA (1)
Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y). …ver más…

Finalmente, se ve que la integral iterada de la ecuación (7) coincide con

ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN
La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales

(8)
Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir

(9)
Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como

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Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos dA= dxdy situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.
APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES
Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región A del plano xy, un elemento dm de masa será dm= (x, y)dydx= (x, y)=dA (11) en donde = (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A (figura