Teorema de Bayes

Es un mecanismo que modifica las valoraciones de probabilidad cuando se dispone de información adicional.

Sean A y B dos sucesos con probabilidades P(A) y P(B), respectivamente. La regla del producto de probabilidades dice:

y también

Como ambas ecuaciones son lo mismo, las igualamos:

Despejando y suponiendo que la probabilidad P(A) no es cero, deducimos el Teorema de Bayes, que dice:

Sean, A y B dos sucesos. Entonces

La interpretación más importante del Teorema de Bayes se basa en el uso de las probabilidades subjetivas.

Supongamos que una persona está interesada en el suceso B y se forma una opinión subjetiva de la probabilidad de que B ocurra; en este contexto, la probabilidad P(B) se denomina …ver más…

En muchas ocasiones, el teorema de Bayes se presenta de una forma distinta pero equivalente.
Teorema de Bayes (Expresión alternativa)

Sean K sucesos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, y sea A otro suceso cualquiera. La probabilidad condicional de dado A puede ser expresada como:

La ventaja de esta reexpresión del teorema reside en el hecho de que las probabilidades que incluye son en muchas condiciones aquellas de las que se dispone directamente.

Ejemplo 1:
Un editor envía propaganda de un libro de contabilidad al 80% de aquellos profesores que están a cargo de un curso de dicha materia. El 30% de aquellos que recibieron la propaganda pasaron a emplear el citado libro, como así hicieron el 10% de los profesores que no la recibieron. ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor que utiliza el libro haya recibido dicha propaganda?.

Sean los sucesos *la recibe* y su complementario *no la recibe*. Entonces: , Además: ,

Queremos conocer la probabilidad condicional de que se haya recibido la propaganda dado que se utiliza el libro. Por el teorema de Bayes se tiene que:

Ejemplo 2:
Un analista de bolsa examina las perspectivas de las acciones de un gran número de compañías. Cuando se investigó el comportamiento de estas acciones un año antes, se descubrió que el 25% experimentaron un crecimiento