RAZÓN DE CAMBIO

Es el otro nombre que se le da a la derivada cuando esta como el límite de un cociente. Si xo es el punto del dominio de la función y=f(x) entonces: f'xo=lim∆x→o∆y∆x, donde ∆y=fxo+∆x-fxo y ∆x=(x-xo).

El incremento de ∆y mide el cambio experimentado por y=f(x), cuando cambia de xo a xo+∆x. Esto quiere decir que el cociente ΔyΔx= fXo+∆x-fXo(x-xo) , es la razón del cambio del y respecto a x cuando x cambia de (xo) a (xo+∆x). El límite de este cambio promedio cuando ∆x→o es el cambio instantáneo de y respecto a x en xo.
En resumen: Si y=f(x), la razón de cambio instantánea de y respeco a x en xo es f'xo.

Se conocen dos tipo de razones de cambio: * Velocidad: es la razón de cambio de la distancia con …ver más…

Además, cuando x=3, de (1) se tiene que: h= 52-x2 = 52-32 = 16 = 4
Remplazando estos valores en (2): dhdt⃒x=3= -3420mseg= -15m/seg.

TEOREMA DE ROLLE
Este teorema dice que si se cumple que: 1. f sea continua en el intervalo cerrado[a,b] 2. f sea diferenciable en el intervalo abierto(a,b) 3. f(a)=f(b)
En palabras sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura en algún punto tendrá una recta tangente horizontal.

Ejemplos: * Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función:

En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1.

En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.

Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

* ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x2) en el intervalo [−2, 2]?
En primer lugar calculamos el dominio de la función.

La función es continua en el intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están contenidos en.
Además se cumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Sea f una función diremos que: a) f es diferenciable en un intervalo abierto (a,b) si f es diferenciable en todo punto de (a,b) esto quiere decir que:
∃f'x;∀x∈(a,b)

b) f es diferenciable en un intervalo cerrado[a,b] si f es