Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.

INCREMENTOS:

Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo ∆x, que se lee "delta x". El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro. Por ejemplo, si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento ∆x = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor …ver más…

Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así
Q es creciente en el instante t si

Q es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+∆x] es el cociente

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando ∆x→0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. mt = f'(a)
Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante