Series
Definición
Dada una sucesión an es posible formar una nueva sucesión Sn del siguiente modo: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 ... Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an La sucesión Sn se llama serie y se denota por
+inf Σn=1 an o simplemente Σ an

Los elementos a1, a2, a3, ..., an, ... de la sucesión original son los términos de la serie y S1, S2, S3, ..., Sn, ... se denominan las sumas parciales de la serie. Una serie es una sucesión de sumas parciales.

Clasificación de una serie
•

Si la sucesión Sn tiene límite finito S, la serie es convergente (converge a S). A S se le llama suma de la serie.

• •

Si lim Sn = +inf o -inf se dice que la serie es divergente. Si Sn no tiene límite, se dice que …ver más…

(Si bn diverge, Σ an también). Ejemplo: Sn = Σ 1/(n2 + n) an = 1/(n2 + n) = 1/n - 1/n+1 bn = 1/n converge a 0 => Σ 1/(n2 + n) converge a 1 - lim 1/n+1 = 1

Series de términos positivos

Definición
Serie de términos positivos (STP)
Es una serie Σ an tal que an>=0 para todo n. (La serie es siempre una sucesión creciente). Ejemplo: Σ 1/2n

Criterios de convergencia para STP
Teorema previo

Una serie de términos positivos Σ an converge si y sólo si la sucesión de sus sumas parciales está acotada superiormente.

Demostración: Directo: Σ an converge => lim Sn = S => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε > 0 existe N / para todo n>N S - ε < Sn < S + ε => Sn está acotada superiormente. Recíproco: • Σ an es monótona creciente por ser de términos positivos. • Sn < M para todo n Toda sucesión monótona y acotada converge (ver teorema) => Sn converge Ejemplo: Σ 1/n! 1/n! =1 pues n! >= 2n-1 ya que n! es el producto de (n1) factores mayores o iguales que 2. Por lo tanto Σ 1/n! 0 tal que an Sn Σ an es convergente pues la sucesión de sus sumas parciales está acotada superiormente (teorema). Nota: El teorema también es valido si an = N.

Sean Σ an y Σ bn dos series de términos positivos. Si existe una constante c > 0 tal que an >= cbn para todo n, entonces si Σ bn diverge, Σ an también diverge.

Demostración: Sn = Σ an Tn = Σ bn Σ bn diverge => lim Tn = +inf => lim cTn = c.lim Tn = +inf

Sn >= cTn => lim Sn = +inf => Σ