Los matemáticos del siglo XVII se fueron percatando gradualmente de que una gran parte de los problemas que surgían de distintos tipos de movimiento (con la consiguiente dependencia de unas variables respecto a otras), así como de problemas geométricos que no se habían podido abordar con los métodos usuales, podían reducirse a dos tipos. Ejemplos sencillos de problemas del primer tipo son: hallar la velocidad en cualquier instante de un movimiento no uniforme (o, en general, encontrar la velocidad de variación de una magnitud dada), y trazar una tangente a una curva dada. Estos problemas condujeron a una rama del análisis que recibió el nombre de 'cálculo diferencial'. Ejemplos muy sencillos del segundo tipo de problemas son: encontrar el …ver más…

Sin embargo, aunque sus investigaciones fueron bastante más rigurosas que las de Cavalieri y otros, y estudió ampliamente las curvas de tipo y = kx, no se percató de la relación inversa entre integración y derivación. De hecho, contrariamente a la exposición habitual que hoy suele utilizarse, el cálculo integral se anticipó al cálculo diferencial para algunas funciones, entre ellas la función logarítmica.

Isaac Barrow (1630-1677) sí alcanzó a reconocer el carácter inverso de estos procesos y su sucesor en la cátedra, Isaac Newton (1642-1727), continuando su línea de trabajo, muestra el primer ejemplo histórico del cálculo de un área mediante el proceso inverso a la diferenciación. Por su parte, Leibniz (1646-1716) logrará pasar a la Historia, entre otros méritos, por su afán de sistematización y el desarrollo de una notación eficiente. A él debemos el símbolo ∫ y, y más tarde ∫ydx, surgido al estilizar la S inicial de suma.

Será Cauchy (1789-1857) el que retome el sentido geométrico de la integral y, separándola del cálculo diferencial, la define como un límite de sumas. Además, demuestra su relación con la derivada mediante el Teorema del Valor Medio.

A partir de ahí, Riemann (1826-1866), Stieltjes (1856-1933) y Lebesgue (1875-1941), entre otros, serán ejes fundamentales para la noción de integral que tenemos en la Matemática actual.

La integral, junto con la derivada (eso sí, cada una con existencia propia),