ormações:
(a) ax + by = c tem solução se e somente s c for múltiplo do mdc(a, b).
(b) se x0 e y0 é uma solução particular de ax + by = c, então x = x0 + (b/d)t e y = y0 - (a/d)t, com t um inteiro qualquer e d = mdc(a, b), são soluções de ax + by = c.
01 – Determinar todas as soluções inteiras das seguintes equações diofantinas lineares: Neste item resolveremos apenas os das letras (a) e (d) pois o processo de resolução é repetitivo.
a) 56x + 72y = 40
Solução: Calculando o mdc(72, 56)
72 = 56.1 + 16
56 = 16.3 + 8
16 = 8.2 + 0
8 = 56 – 16.3 = 56 – (72 –56.1).3 = 56.4 – 72.3 = 56.(4) + 72(-3)
Temos: 40 = 8.5 = 56.(4.8) + 72.(-3.5) = 56.(32) + 72(-15).
Solução particular: xo = 32 e yo = -15.
Todas as soluções:- x = 32 + (72/8)t = 32 + 9t e y = -15 - (56/8)t = -15 - 7t.
Resposta: -x = 32 + 9t e y = -15 – 7t

(b) 24x + 138y = 18 Resposta: x = 18 + 23t y = -3 – 4t

(c) 221x + 91y = 117 Resposta: x = -18 + 7t e y = 45 – 17t

(d) 84x – 438y = 156
Solução: mdc(438, 84) ⇒ 438 = 84.5 + 18; 84 = 18.4 + 12; 18 = 12.1 + 6; 12 = 6.2 + 0
6 = 18 – 12.1 = 18 – (84 – 18.4).1 = 18.5 – 84.1 = (438 – 84.5).5 – 84.1 = 84(-26) + 438(5) = 84(-26) – 438(-5)
156 = 6.26 = 84(-26.26) – 438(-5.26) = 84(-676) – 438(-130)
Solução particular: xo = -676 e yo = -130
Soluções: x = -676 + (-438/6)t = -676 + 73t y = -130 – (84/6)t = -130 – 16t.
Resposta: -x = -676 - 73t y = -130 – 16t.

(e) 48x + 7y = 5 Resposta:- x = -5 + 7t y = 35 – 48t

(f) 57x – 99y = 77 Resposta: