VALORES Y VECTORES PROPIOS
Definición.-
Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x tal que:
Ax = λx
Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene su dirección, posiblemente solo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x se llama vector propio o eigenvector asociado al valor propio λ. Algunos de estos campos de aplicación son:
- Ecuaciones diferenciales
- Estabilidad de sistemas lineales
- Sistemas eléctricos (componentes simétricas)
- Polos y ceros de funciones transferencia
- Diagonalización de matrices
Podemos averiguar si el …ver más…

• reflexión: los vectores propios son perpendiculares y paralelos al eje de simetría, los valores propios son -1 y 1, respectivamente.
• escalado uniforme: todos los vectores son vectores propios, y el valor propio es el factor de escala.
• proyección sobre una recta: los vectores propios con el valor propio 1 son paralelos a la línea, vectores propios con el valor propio 0 son paralelos a la dirección de la proyección

Teorema espectral
El teorema espectral muestra la importancia de los valores propios y vectores propios para caracterizar una transformación lineal de forma única. En su versión más simple, el teorema espectral establece que, bajo unas condiciones determinadas, una transformación lineal puede expresarse como la combinación lineal de los vectores propios con coeficientes de valor igual a los valores propios por el producto escalar de los vectores propios por el vector al que se aplica la transformación, lo que puede escribirse como: donde y representan a los vectores propios y valores propios de . El caso más simple en el que tiene validez el teorema es cuando la transformación lineal viene dada por una matriz simétrica real o unamatriz hermítica compleja.
Si se define la enésima potencia de una transformación como el