Universidad Nacional de Colombia - Escuela de Matemáticas Primer Parcial Resuelto de Geometría Vectorial y Analítica (25%) Marzo 1 de 2010 Nombre del estudiante:___________________________________Carné:______________ Nombre del profesor:____________________________________Grupo:________ Nota: La interpretación de las preguntas del examen hace parte de la evaluación, por tal motivo no se responden preguntas durante la prueba. El procedimiento completo debe aparecer en su hoja de trabajo. Si utiliza calculadora redondee los resultados a dos dígitos después del punto decimal. Tiempo de duración del examen: 1 hora y 50 minutos 1. (Valor 45%) Sean !; ! y ! vectores del plano tales que k!k = 4; k!k = 6; k!k = 5; dir(!) = 45 ; v w z v w z v w z z …ver más…

1 ! SOLUCIÓN: Método 1: A=Área del triángulo ABC. Entonces A = AC h; siendo h 2 ! ! p la altura relativa a la base AC: Se tiene que h = AB sen = AB 1 cos2 : Luego s 2 p p ! p ! ! 1 ! 1 16 p A = AC AB 1 cos2 = (5) 17 1 ( AC = 5; AB = 17) . 2 2 5 17 q q p 1 1 1 1p 1p 2 2 Es decir, A = (5) 17 p 52 (17) (16) = 52 (17) (16) = 425 256 = 169 = 2 2 2 2 5 17 13 = 6:5 unidades cuadradas. 2 r q ! 2 ! 2 ! ! 2 1 1 13 2 Método 2: A = AC AB AC AB = 52 (17) (16) = = 6:5 unidades 2 2 2 cuadradas. s r ! 2 ! 2 ! 16 ! ! 2 1 ! 16 ! Método 3: A = AC h; con h = AB AP y AP = AC: Así que h = AB AC 2 25 25 r q q p 2 162 1 1 1 13 2 2 17 (25) = (25) (17) (16) : Luego A = (5) (25) (17) (16) = = 6:5 252 5 2 5 2 unidades cuadradas. 1 (f) (5) Halle la descomposición canónica de Z = 2A B + C: 2 SOLUCIÓN: Z = 2A 1 2 B+ C=2 2 1 la descomposición canónica de Z es Z = 2E1 1 1 2 + 5 2 4 E2 : = 4+1+1 2 5+2 = 2 : Luego 1

2

=

3. Valor (20%) Suponga que A, B, C y D son puntos del plano tales que A, B y C no son colineales, ! BE ! 1 ! 1 AD = AB, el punto E divide el segmento BC de modo que ! = y el punto M divide el 4 3 BC ! DM 2 segmento DE de modo que ! = 3: ME (a) (8) Ilustre grá…camente la situación descrita.