Universidad de Talca
Instituto de Matem´ atica y F´ısica

Matem´ aticas I (IIE)
15 de abril de 2015

Gu´ıa N◦4 - Unidad 2
1. En los siguientes ejercicios, encuentre
(a) A + B
(b) A − B
(c) 2A
�
�
�
�
1 −1
2 −1
1. A =
B=
2 −1
−1 8
�
�
�
�
1 2
−3 −2
2. A =
B=
2 1
4
2
�
�
�
�
2
1 1
2 −3 4
3. A =
B=
−1 −1 4
−3 1 −2




3
−4



2
6 
4. A =
B=
−1
2

(d) 2A − B

2. Encuentre a) c21 y b) c13 , donde C = 2A − 3B y
�
�
�
�
5 4 4
1 2 −7
A=
B=
−3 1 2
0 −5 1
3. Encuentre a) c23 y b) c32 , donde C

4

0
A=
−3

= 5A + 2B y



11 −9
1 0 5
3
2  B =  −4 6 11 
1
1
−6 4 9

4. En los siguientes ejercicios, encuentre a) AB y b) BA (si es que est´an definidos).




2 1
0 −1 0
(a) A =  −3 4  B =  4 0 2 
8 −1 7
1 6




0 −1 0
2
(b) A = …ver más…



2 −3 −5
5  es idempotente.
21. Verifique si B =  −1 4
1 −3 −4

22. Una matriz cuadrada s´ı y s´olo si su cuadrado es la identidad, es decir A2 = I,
� es Involutiva
�
1 0 por ejemplo A =
.
0 −1
Sabiendo que A es involutiva, demostrar que


1
(I − A) es idempotente.
2


7
4 −4
23. Para la matriz A =  4 −8 −1  comprobar que A2 − 81 = 0.
−4 −1 −8
Usando lo anterior encontrar A−1 .

24. Una matriz no singular es ortogonal s´ı y s´olo si su inversa es igual a su traspuesta, es decir,
A es ortogonal s´ı y s´ olo si A−1 = At .
Demuestre que si A es idempotente y B es ortogonal, entonces B t AB es idempotente.
�
�
�
�
�
�
�
�
2 0
4 3
2 4
−2 9
25. Dadas las matrices A =
, B=
, C= y D=
.
2 2
4 6
6 0
6 6
Resolver para las matrices X e Y de 2 × 2 el sistema:
�
X + AY t = B
Xt + Y C = D
 i
�
�
�
�
 3 si i < j
1 0
−1
1 j i si i ≥ j , B =
26. Sean A de 2×2 definida por (aij ) =
, C=
2 1
1/2 −3/2

yD=

�

1 0
0 1

�

. Encontrar la matriz X, en la ecuaci´on:

(A−1 X t )t + (B t )−1 = D − XC
27. Se llama matriz nilpotente a toda matriz cuadrada A tal que Ap = 0, p ∈ N, al menor n´ umero natural p que verifique Ap = 0 se le denomina ´ındice de la matriz A.


1
1
3
2
6  es nilpotente.
Verificar que A =  5
−2 −1 −3

28. Sea A = (aij ), B = (bij ) y C = (cij ) matrices de orden 3 × 3, tal que

�
� 2
 2(i − j), i < j
2
2i − 3j, i ≤ j i −j , i≤j
0,
i=j aij =
Bij =
Cij =
−i,
i>j j − i, i > j

i − j, i>j (a) Determinar: A, B, C, 2A − 3B y C 2

(b)