Números reales

El conjunto R de los números reales puede introducirse por diversos métodos, teniendo como base la teoría de conjuntos. Podemos clasificarlos en: a) constructivos y b) estructurales.

a) En las teorías constructivas o genéticas, una vez introducido el conjunto de los números naturales, se procede a las sucesivas construcciones de Z (enteros) a partir de N; de Q (racionales) a partir de Z y de R a partir de Q. el pasaje de Q hacia R es el más delicado y puede efectuarse por una gran variedad de procedimientos: secciones, cortaduras, conjuntos adyacentes, sucesiones adyacentes, sucesiones de Cauchy, por nombrar los más conocidos.
Es importante tener presente, que las distintas realizaciones de R conducen a conjuntos …ver más…

En efecto,
Si es neutro multiplicativo, entonces (C7)
Si es neutro multiplicativo, entonces
De donde, . Luego

Teorema 5 y Definición
, denominado cociente entre y , que se simboliza por , y tal que
Demostración:
(Existencia) Es fácil ver que es el cociente buscado.
En efecto, (C8) (C6) (C8) (C7)
(Unicidad) Sean y
En consecuencia, implica
Observación:
La suma la simbolizaremos
Teorema 6: Hankeliana
Sean si entonces ó
Demostración (por reducción al absurdo)
Supongamos y .
De implica que (pues )
Y por la propiedad cancelativa para la multiplicación, es : que contradice lo supuesto.
Teorema 7
Sean si y entonces
Demostración
Es consecuencia de (C6) y (C8).
En efecto,
, de donde . Luego la tesis es inmediata.
Teorema 8
Sean si y entonces
Demostración
En efecto, (notación) (teorema 7) (C9) (C5) (C7)

Axioma II (de orden)
Existe un subconjunto de tal que:
(C10) una y sólo una de las siguientes relaciones es verdadera:
(C11) Si y entonces y

Observaciones: i. Se dice que la estructura es un cuerpo conmutativo ordenado. ii. Se dice que es un real positivo si . Si entonces es un real negativo. iii. El orden en a sido definido mediante un subconjunto de