CARACTERISTICAS DE LA HIPÉRBOLA:

1... La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real.

2... Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. Los focos están en el eje real. La distancia focal se representa por 2c.
Entre a, b y c existe la relación c2 = a2 + b2.

3... La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto respecto del centro O. Las …ver más…

| Definición (excentricidad de una hipérbola) | | La excentricidad de una hipérbola está dada por el cociente | Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y la ramas de la hipérbola son más puntiagudas.
La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo de luz dirigido a uno de los focos de una hipérbola se refleja hacia el otro foco (figura 2).

| Teorema (propiedad de reflexión) | | La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos. |

Figura 3. Ejemplo 1
Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

Solución
Completando el cuadrado en ambas variables

Por tanto, el centro está en . El eje de la hipérbola es horizontal, y

Los vértices están en , los focos en y y la excentricidad es . La gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 4. Ejemplo 2
Hallar la ecuación canónica de la