UNIDAD VII. DEFINICIÓN:

“LA HIPÉRBOLA”.

La Hipérbola es el conjunto de puntos en el plano cuya diferencia de sus distancias a dos puntos fijos en el mismo plano, llamados focos, es constante e igual a 2a. 7.1 Ecuación en forma común o canónica de la hipérbola. 7.1.1 Elementos: En la gráfica dada a continuación (Fig. 1) es posible encontrar los elementos siguientes: C → Centro. V → Vértices. F → Focos. Asíntotas (rectas que se cortan en el centro) a = CV → Semieje real (transverso) b = CB → Semieje imaginario (conjugado) c = CF → Semieje focal.

Fig. 1. Convencionalmente se utilizan los subíndices (1) para los elementos que se localizan abajo y a la izquierda del centro y (2) para los que están arriba y a la derecha del centro.

1 …ver más…

Ahora bien, por la relación entre a, b y c, se observa que c es mayor 2a a

que a y que b, por lo tanto la excentricidad en la hipérbola siempre es mayor que la unidad: e > 1 Lado Recto: También en la hipérbola se pueden calcular las longitudes de los lados rectos, para lo cual se utiliza la misma ecuación que en la elipse:

2b 2 LR = a
EJEMPLO 1.7

5

Hallar la ecuación de la hipérbola concentro en el origen, eje real paralelo al eje 0x, uno de cuyos vértices está en (−3, 0) y uno de sus focos en (5, 0). Determinar, además, las coordenadas de los extremos del eje imaginario y las ecuaciones de sus asíntotas.

Fig. 4 Para comenzar, al observar la figura 4, la distancia CV1 = 3 y es igual al valor de a, y la distancia CF2 = 5, que equivale al valor de c. haciendo uso de la relación entre a, b y c se tiene:

c2 = a2 + b2

b2 = c2 − a2

b 2 = (5) 2 − (3) 2

b 2 = 25 − 9

b 2 = 16

b 2 = 16

b=4

Dado que los vértices y los focos están sobre el eje X, el eje real es horizontal y la ecuación correspondiente:

6

x2 a2

−

y2 b2

=1

Sustituyendo los valores de a y b:

x2 (3) 2

−

y2 (4) 2

=1

La ecuación pedida es, por tanto: x2 y2 − =1 9 16

Para los extremos del eje imaginario, es necesario avanzar desde el centro y de manera perpendicular al eje real, una distancia igual a b, tanto en un sentido como en otro,