Capítulo 2

Linealización de Modelos
Debido a que la mayoría de herramientas para el análisis de sistemas y diseño de sistemas de control requieren que el modelo sea lineal, es necesario entonces disponer de métodos para linealizar modelos. La linealización generalmente consiste en una expansión en series de Taylor de la ecuación de estado (no-lineal) alrededor de un punto de operación de…nido naturalmente por el sistema o seleccionado arbitrariamente para satisfacer alguna necesidad de control.

2.1

Expansión en Series In…nitas

Cuando un modelo es muy complejo matemáticamente es necesario recurrir a técnicas como las representaciones en series in…nitas. Las soluciones en series in…nitas son usadas generalmente para aproximar el …ver más…

f1 (x1 (t) ; x2 (t) ; : : : ; xn (t) ; u1 (t) ; u2 (t) ; : : : ; um (t)) 7 6 f2 (x1 (t) ; x2 (t) ; : : : ; xn (t) ; u1 (t) ; u2 (t) ; : : : ; um (t)) 7 6 7 6 . . 7=6 . 7 6 xn¡1 (t) 5 4 fn¡1 (x1 (t) ; x2 (t) ; : : : ; xn (t) ; u1 (t) ; u2 (t) ; : : : ; um (t)) _ xn (t) _ fn (x1 (t) ; x2 (t) ; : : : ; xn (t) ; u1 (t) ; u2 (t) ; : : : ; um (t)) x1 (t) _ x2 (t) _ . . . g1 (x1 (t) ; x2 (t) ; : : : ; xn (t) ; u1 (t) ; u2 (t) ; : : : ; um (t)) 7 6 g2 (x1 (t) ; x2 (t) ; : : : ; xn (t) ; u1 (t) ; u2 (t) ; : : : ; um (t)) 7 6 7 6 . . 7=6 . 7 6 yq¡1 (t) 5 4 gq¡1 (x1 (t) ; x2 (t) ; : : : ; xn (t) ; u1 (t) ; u2 (t) ; : : : ; um (t)) yq (t) gq (x1 (t) ; x2 (t) ; : : : ; xn (t) ; u1 (t) ; u2 (t) ; : : : ; um (t)) Usando notación vectorial: x (t) = f (x (t) ; u (t)) _ y1 (t) y2 (t) . . . 3 2 3 2 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5

2 6 6 6 6 6 4 2 6 6 6 6 6 4

(2.18)

(2.19)

(2.20)

y (t) = g (x (t) ; u (t))

(2.21)

20

Extendiendo al caso vectorial la expansión en series de Taylor hecha para el caso escalar se tiene: x± (t) = Ax± (t) + Bu± (t) _ (2.22)

y± (t) = Cx± (t) + Du± (t) Donde: x± = x ¡ xop , u± = u ¡ uop , y± = y ¡ yop , yop = g (xop ; uop )

(2.23)

¯ @g (¢) ¯ ¯ D= @u ¯xop ;uop

¯ @g (¢) ¯ ¯ C= @x ¯xop