CAPÍTULO

2
Métodos de solución de ED de primer orden

2.6 Ecuaciones diferenciales exactas
Antes de abordar este tema sugerimos al lector revise la última sección de este capítulo, la cual trata sobre algunos conocimientos básicos y necesarios del cálculo de varias variables. Ahí se define la diferencial exacta o total de una función de dos variables f .x; y/ de la siguiente manera: df D @f @f dx C dy : @x @y

Comenzamos entonces con una definición básica. Una expresión M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 es una ecuación diferencial exacta si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: 1. M.x; y/ dx C N.x; y/ dy es la diferencial exacta de una función f . @f @f 2. Existe una función f .x; y/ tal que df D dx C dy D M.x; y/ dx C …ver más…

donde Derivando respecto a y esta función f .x; y/ @f @ D ŒP .x; y/ C h.y/ D Py .x; y/ C h 0 .y/: @y @y Al utilizar la segunda condición @f D N.x; y/ se tiene: @y Py .x; y/;

@f D N.x; y/ , Py .x; y/ C h 0 .y/ D N.x; y/ , h 0 .y/ D N.x; y/ @y

4 de donde, integrando con respecto a y: y Ecuaciones diferenciales ordinarias

h.y/ D

N.x; y/

Py .x; y/ dy:

Finalmente sustituimos h.y/ en (2.1) y se obtiene: y f .x; y/ D P .x; y/ C

N.x; y/

Py .x; y/ dy:

que es la función buscada. El desarrollo anterior es precisamente el procedimiento que debemos seguir para la obtención de la función f .x; y/.

Comentarios a la demostración: 1. Para la obtención de h.y/, integramos con respecto a y la expresión de h 0 .y/: h 0 .y/ D N.x; y/ Py .x; y/

Al efectuar la integración supusimos que h 0 .y/ sólo depende de y. Comprobemos que esto, en efecto, @ 0 es cierto. Vamos a verificar que no depende de x demostrando que h .y/ D 0. @x Estamos considerando que: h 0 .y/ D N.x; y/ D N.x; y/ D N.x; y/ D N.x; y/ Py .x; y/ D x @ M.x; y/ dxD @y x @ M.x; y/ dx D @y x @ @y y que

x

x

.x; y/ dx D

@ .x; y/ dx @y

My .x; y/ dx

@ @x

x

.x; y/ dx D .x; y/

Derivamos con respecto