Matrices de Rotación Una matriz de rotación, conocida comunmente como Matriz de Rotación de Givens, es una matriz definida de la siguiente forma: 1 Fila i Ri , j () = Fila j sen() cos() 1 1 cos() 1 - sen()

Columna columna I j La expresion cos() aparece en la diagonal en las posiciones ( i,i ) y ( j,j ). La expresión sen() en posición ( j, i ) y - sen() en posición ( i, j ). Los otros elementos de la diagonal son 1s, como en la matriz idéntica. Por supuesto que si trabajamos con matrices de orden 2, los unos no aparecen. La matriz de rotación de orden 2 enmarcada en gris presentada anteriormente se denominaría en esta nueva nomenclatura R1, 2 ( ) . Tal matriz se utilizó para lograr un cero por medio de una transformación …ver más…

Aplicaremos este método a nuestra matriz ejemplo A = 2 2 1 2 -1 -2 1 -2 2

En nuestro proceso de diagonalización obtendremos un 0 en la segunda fila, primera columna, con nuestra transformación ortogonal, para obtener una matriz que gráficamente luciría como la siguiente: 0 0

Para avanzar en el siguiente paso a la forma 0 0 0 y en el siguiente a: 0 0 0 Obteniendo la matriz diagonal deseada. Obtendremos el primer 0 en la posición ( 2, 1 ) utilizando la matriz de rotación de orden 3, R1, 2( ) en donde las expresiones sen() y cos() aparecen en las intersecciones de las filas 1 y 2 con las columnas 1 y 2, así: cos  - sen  R1, 2( ) = sen  0 La expresión
T 1, 2( ) A R 

0

0

0 0

0

cos  0

0 1

R1, 2( ) es: sen  0 2 2 1 2 -1 -2 1 -2 2 cos  -sen  sen  0 cos  0 0

cos 

-sen  cos  0 0

0 1

0 1

Observando las matrices como si estuviesen particionadas, incorporando el primer producto cos  sen  2 2 -sen  cos  vemos tomando el caso de la diagonalización en R2 que la ecuación -c tan 2  + (b – a) tan  + c = 0 utilizada en el capítulo 6 para matrices cuadradas simétricas del tipo a c c b -2 tan 2  + (-1 – 2) tan  + 2 -1

se aplica en este caso con a = 2, b = -1 y c = 2, concluyéndose que: 2=0 o lo que es equivalente (muchos números negativos) 2 tan 2  + 3 tan  - 2 = 0

De aquí se concluye, utilizando la ecuación de segundo grado que tan  =