UNIDAD 1: ECUACIONES DIFRENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.1 Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad).

* Ecuación diferencial: Se denomina así a aquella ecuación en la que una función y sus derivadas toman papeles decisivos, dicho de otra manera, es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales.
Ejemplos:
1) dydx=cosx 2) d2ydx2+k2y=0 3) d2ydt2+d2xdt2=x

* Orden: El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alto que aparezca en la ecuación, en otras palabras el exponente más grande al que se encuentre elevada una derivada, indicará el orden de la misma. PRIMER ORDEN | F=x, y, y´=0 | SEGUNDO ORDEN | F=x,y,y´,y´´=0 | TERCER ORDEN | F=x,y,y´,y´´´=0 | … …ver más…

Sustituyendo “y” y “y´” tenemos una identidad:
2e-x-12c-x=1 ∴ -1=-1
Donde:
2ydy=-dx=2y2+x+c y2=c-x y=c-x 2) La función y=3x2+c1+c2 es solución de la ecuación diferencial y´´=6, porque: dy=dxdx y=6x+c1du y=3x2+c1x+c y´=6x+c1 y´´=6 ∴ 6=6

3) La función y=c1ex+c2ex+c3e-2x+c4e2x es solución general de la ecuación diferencial: y´´-5y´´+4y=0 Porque: y´=-c1e-x+c2ex-2c3e-2x+2c4e2x y´´=c1e-x+c2ex+4c3e-2x+4c4e2x y´´´=-c1e-x+c2ex-8c3e-2x+8c4e2x yIV=c1e-x+c2ex+16c3e-2x+16c4e2x

Sustituyendo:

c1e-x+c2ex+16c3e-2x+16c4e2x →yIV

-5c1e-x-5c2ex-20c3e-2x-20c4e2x →-5y´´

4c1e-x+4c2ex+4c3e-2x+4c4e2x=0 →4y

∴ 0=0

1.3 Problema del valor inicial Se denomina problema valor inicial a la ecuación diferencial que es acompañada de condiciones iniciales.
Ejemplos:
1) Resolver la ecuación diferencial: y´-4xy=0
Para la condición inicial y=15 cuando x=0, o bien brevemente: y(0)=15
La ecuación puede escribirse como: dy=4xydx ó dyy=4xdx ; integrando ambos lados ambos lados de la igualdad, tenemos: lny=2x2+c y=ce2x2
Sustituyendo los valores del punto 0,15 tenemos que, 15=cex → c=15
Entonces la solución particular es: y=15e2x2 2) Resolver la siguiente ecuación diferencial: y´´=x Para: y-2=4 y´0=1
Volviendo a integrar y=x36+c1x+c2 es solución general Aplicando las condiciones