Cosenos directores
(Gp:) En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector a los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base
Álgebra vectorial Adición de dos vectores
Vector
Componentes en un sistema de coordenadas particular
La suma de dos vectores es otro vector
Cuyas componentes en un sistema de coordenadas particular vienen dadas por la suma de las componentes de los dos vectores en el mismo sistema de coordenadas
Álgebra vectorial Adición de dos vectores
Propiedades de la adición de dos vectores
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Las dos se siguen inmediatamente a partir de sus componentes
Podemos sumar los vectores en cualquier orden
Significado geométrico de la suma de vectores
(Gp:) Se disponen gráficamente un vector a continuación del otro, es decir, el origen de coincide con el extremo de
(Gp:) El vector suma tiene como origen en el origen de y como extremo el extremo de
Los vectores se pueden sumar de esta forma sin hacer referencia a los ejes de coordenadas
(Gp:) Supongamos que y pueden representarse como segmentos en el papel, ¿Qué sería ?
Álgebra vectorial Multiplicación de un vector por un escalar
Vector
Componentes en un sistema de coordenadas particular
El resultado de multiplicar un vector por un escalar es otro vector
Cuyas componentes en un sistema de coordenadas particular vienen dadas por el producto de las componentes por el escalar
Álgebra vectorial Sustracción de vectores
Se define de la misma manera que la adición, pero en vez de sumar se restan las componentes
(Gp:) Gráficamente: dibujamos el vector desde hasta para obtener
Álgebra vectorial Multiplicación de vectores
Los vectores se pueden multiplicar de varias maneras diferentes
Producto escalar: el resultado es un escalar
Producto vectorial: el resultado es un vector
Producto mixto: el resultado es un escalar
Álgebra vectorial Producto escalar de vectores
(Gp:) Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto escalar
(Gp:) El producto escalar de dos vectores se representa poniendo un punto, ,entre los dos vectores
El resultado de esta operación es un escalar, es decir una cantidad que no tiene dirección. La respuesta es la misma en todo conjunto de ejes
Al producto escalar también se le conoce como producto interno, escalar o punto
Álgebra vectorial Propiedades del producto escalar de vectores
(Gp:) Propiedad distributiva
(Gp:) Propiedad conmutativa
(Gp:) Propiedad asociativa
Producto escalar de los vectores de la base ortonormal canónica
Álgebra vectorial Definición geométrica del producto escalar
(Gp:) es el producto del módulo de por el módulo de por el coseno del ángulo que forman
(Gp:) es el menor de los ángulos que forman los vectores
Significado geométrico del producto escalar. La proyección de un vector sobre la dirección del otro.
(Gp:) es el producto del módulo de por el módulo de por el coseno del ángulo que forman
(Gp:) es el menor de los ángulos que forman los vectores
Utilización del producto escalar para saber si dos vectores son ortogonales entre sí
(Gp:) es el producto del módulo de por el módulo de por el coseno del ángulo que forman
Si el producto escalar de dos vectores es cero, y el módulo de los dos vectores es distinto de cero, entonces los dos vectores son perpendiculares entre sí.
Equivalencia entre las dos definiciones de producto escalar
Sean dos vectores como los de la figura.
Si tomamos el origen de coordenadas en el origen de los vectores, podemos calcular la distancia al cuadrado entre sus extremos como
La misma distancia puede obtenerse de manera geométrica a partir del teorema del coseno
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo a, ß, ?, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
Equivalencia entre las dos definiciones de producto escalar
Sean dos vectores como los de la figura.
Si tomamos el origen de coordenadas en el origen de los vectores, podemos calcular la distancia al cuadrado entre sus extremos como
La misma distancia puede obtenerse de manera geométrica a partir del teorema del coseno (particularizando la anterior expresión a nuestro caso concreto)
Igualando las dos ecuaciones y operando
Como hallar el módulo de un vector. Vectores unitarios
Aplicando la definición de producto escalar, podemos calcular fácilmente el módulo de un vector
(Gp:) Se denomina vector unitario a aquel vector que tiene por módulo la unidad.
Podemos calcular un vector unitario en la dirección del vector sin más que dividir por su módulo
Magnitudes físicas en las que interviene el producto escalar de dos vectores
Trabajo
Flujo de un campo vectorial
Ley de Gauss para campos eléctricos
A student’s guide to Maxwell’s equations Daniel Fleisch Cambridge University Press (New York, 2008)
Álgebra vectorial Producto vectorial de vectores
(Gp:) Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto vectorial como un nuevo vector
Cuyas componentes vienen dadas por
Álgebra vectorial Producto vectorial de vectores
El resultado de esta operación es un vector, es decir una cantidad que sí tiene dirección.
Al producto vectorial también se le conoce como producto externo, o producto cruz
(Gp:) Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto vectorial como un nuevo vector
Cuyas componentes vienen dadas por
(Gp:) El producto vectorial de dos vectores se representa poniendo una cruz, , o un ángulo, , entre los vectores
Módulo del vector producto vectorial
(Gp:) Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto vectorial como un nuevo vector
Módulo del vector producto vectorial
(Gp:) El módulo de es el producto del módulo de por el módulo de por el seno del ángulo que forman
El módulo del vector producto vectorial coincide con el área del paralelogramo definido por los dos vectores
Dirección del vector producto vectorial
(Gp:) Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto vectorial como un nuevo vector
Dirección del vector producto vectorial
(Gp:) Dirección del vector producto vectorial: perpendicular a los vectores y
(Gp:) El sentido de viene determinado por la regla de la mano derecha
Con los tres dedos consecutivos de la mano derecha, empezando con el pulgar, índice y, finalmente, el dedo medio, los cuáles se posicionan apuntando a tres diferentes direcciones perpendiculares. Se inicia con la palma hacia arriba, y el pulgar determina la primera dirección vectorial, el índice la segunda y el corazón nos indicará la dirección del tercero.
Sentido del vector producto vectorial
Equivalencia en las definiciones del módulo del vector producto vectorial
Si tomamos como definición de producto vectorial de dos vectores
(Gp:) Comenzamos expandiendo los vectores y en función de sus componentes
Operando
A student’s guide to Vectors and Tensors Daniel Fleisch Cambridge University Press (New York, 2008)
(Gp:) donde es el vector unitario y ortogonal a los dos vectores y su dirección está dada por la regla de la mano derecha, y es el ángulo entre los dos vectores
Entonces podemos deducir la equivalencia entre las dos maneras de calcular el módulo del vector producto vectorial
Álgebra vectorial Propiedades del producto vectorial de vectores
(Gp:) Propiedad anticonmutativa
(Gp:) Si
??
Propiedad distributiva con respecto a la suma
Producto de un escalar con respecto a un producto vectorial
Productos vectoriales entre los vectores de la base canónica
Álgebra vectorial Propiedades del producto vectorial de vectores
Utilización del producto vectorial para saber si dos vectores son paralelos
Magnitudes físicas que se pueden definir como el producto vectorial de dos vectores
Momento angular
Fuerza de Lorentz
Productos triples: Triple producto escalar
El resultado es un vector.
Precaución:
Ejemplo:
Productos triples: Triple producto vectorial
Se define como el producto vectorial de un vector por el producto vectorial de otros dos
El resultado es un vector.
El triple producto escalar cumple la fórmula de Lagrange
Precaución
Productos triples: Producto mixto de vectores
Se define como el producto escalar de un vector por el producto vectorial de otros dos
El resultado es un escalar
Si los tres vectores vienen dados en coordenadas cartesianas se calcula
Propiedad geométrica: el volumen del paralelepípedo definido por estos tres vectores es igual al valor absoluto de su producto mixto
Reglas de la multiplicación usando productos escalares y vectoriales
Derivada de un vector
(Gp:) Sea una función vectorial que depende de un escalar t
(Gp:) Ejemplo:
puede ser la posición de un objeto
t puede ser el tiempo
(Gp:) Instante
(Gp:) Posición
(Gp:) t
(Gp:) t’
(Gp:) Objetivo: calcular la razón de cambio de como función de t
Derivada de un vector
(Gp:) En el intervalo de tiempo
(Gp:) El objeto se ha movido desde hasta ?? desplazamiento
Derivada de un vector
(Gp:) Cuanto más pequeño sea , más parecidos serán y
más pequeño será el desplazamiento
(Gp:) Definición de derivada: divide entre y tomar el límite cuando
(Gp:) Si es la posición, su derivada es la velocidad:
Dirección: tangente a la trayectoria
Magnitud: depende de lo rápido que recorra la trayectoria
Derivada de un vector
Tened cuidado al dibujar posición y velocidad en la misma gráfica:
Los dos vectores no se pueden sumar
Cuidado con las escalas
Derivada de un vector: componentes de la derivada de un vector
La derivada puede contemplarse como una diferencia de vectores.
Las componentes de una diferencia de vectores es igual a la diferencia de las componentes
(Gp:) Tomando límites
(Gp:) Si la dirección a lo largo de la cuál se calcula la componente se mantiene fija con el tiempo
Integral de un vector que depende de una variable escalar
El resultado es un vector
Integral de un vector: la integral de línea
(Gp:) Sea un campo vectorial ,
queremos calcular la integral a lo largo de una curva S desde un punto a hasta un punto z
(Gp:) Como punto de partida, necesito conocer lo que vale el campo a lo largo de la curva S entre a y z
Integral de un vector: la integral de línea
Caso sencillo: el campo vectorial es constante
el camino en el que hay que integrar es una línea recta
Resultado: la distancia a lo largo de la línea multiplicada por la componente de la fuerza en esa dirección
Integral de un vector: la integral de línea
Caso general
descomponer la integral diviendo la trayectoria S entre a y z pequeños fragmentos
descomponer la integral diviendo la trayectoria S entre a y z pequeños fragmentos
La integral a lo largo de S es la suma de las integrales a lo largo de cada uno de los fragmentos
En cada uno de los pequeños fragmentos, la fuerza puede considerarse como constante
Integral de un vector: la integral de línea
Caso general
descomponer la integral diviendo la trayectoria S entre a y z pequeños fragmentos
El resultado es un escalar
Integral de superficie de un campo vectorial: el flujo
El resultado es un escalar
(Gp:) Sea una función vectorial que depende de la posición
(Gp:) Sea un vector unitario perpendicular a una superficie.
Por convenio, el vector normal unitario de una superficie cerrada se toma apuntando hacia fuera, en la dirección opuesta del volumen encerrado por la superficie
Se define la integral de flujo como
A student’s guide to Maxwell’s equations Daniel Fleisch Cambridge University Press (New York, 2008)
Campos vectoriales y escalares: Definición
(Gp:) En una región del espacio tenemos un campo vectorial (respectivamente escalar), cuando tenemos definida una magnitud vectorial (respectivamente escalar) para cada punto de esa región como función de la posición
Ejemplo de campo escalar: la presión atmosférica sobre la tierra
Para cada punto geográfico (identificado mediante una longitud, una latitud y una altura) tenemos definido un valor de la presión (expresada en Pascales)
Ejemplo de campo vectorial: la velocidad del viento en cada punto de la tierra
Para cada punto geográfico (identificado mediante una longitud, una latitud y una altura) tenemos definido un valor de la velocidad. Dicha velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la dirección en la que sopla el viento.
http://www.ciencia.net/VerArticulo/matematicas/Campos-Vectoriales?idArticulo=7
Campos escalares: Ejemplo físico
Física, Volumen II-Electromagnetismo y Materia,
Feynman
Pearson Education, Addison Wesley Longman, Méjico, 1998
La temperatura, T, es un campo escalar
A cada punto (x,y,z) del espacio se le asocia un número T(x,y,z).
Todos los puntos de la superficie marcada por T = 20° (representada por una curva para z = 0) están a la misma temperatura
Campos vectoriales en dos dimensiones: Ejemplo
http://www.ciencia.net/VerArticulo/matematicas/Campos-Vectoriales?idArticulo=7
(Gp:) A cada punto del espacio se le asocia un vector plano y se suele escribir o
A cada punto x,y, asocio un vector cuya componente x mide sin(x) y la componente y, sin(y)
Campos vectoriales en tres dimensiones: Ejemplo
http://www.ciencia.net/VerArticulo/matematicas/Campos-Vectoriales?idArticulo=7
(Gp:) A cada punto del espacio se le asocia un vector 3D y se suele escribir o
Campos vectoriales en tres dimensiones: Ejemplo físico
Física, Volumen II-Electromagnetismo y Materia,
Feynman
Pearson Education, Addison Wesley Longman, Méjico, 1998
La velocidad de los átomos en un cuerpo en rotación
Derivadas espaciales de los campos
Cuando los cambios cambian con el tiempo, es muy fácil describir la variación
Ahora queremos describir de una manera similar variaciones con respecto a la posición.
Por ejemplo, ¿Cuál es la relación entre la temperatura en un punto dado y la temperatura en otro punto suficientemente cercano?.
En este caso, ¿Cómo deberíamos de tomar la derivada con respecto a la posición?.
¿Derivamos con respecto a x, y o z?
Las leyes físicas no deben depender de la orientación del sistema de coordenadas
(Gp:) es un escalar o es un vector?
Las leyes deben físicas deben escribirse de una forma en la cual los dos lados de la ecuación sean un escalar o sean un vector.
Ni lo uno ni lo otro.
Si rotamos el sistema de coordenadas y tomamos un eje x diferente, el valor de la derivada será diferente.
El operador nabla
(Gp:) El símbolo representa un operador vectorial diferencial. Recibe el nombre de “nabla” o “delta”
Nos indica que vamos a tomar derivadas en las tres direcciones espaciales sobre la magnitud en la cuál está actuando
En coordenadas cartesianas
Por si mismo, no significa nada. Necesita una magnitud sobre la que actuar. “hungry for something to differentiate”
Combinando el operador nabla con campos escalares El gradiente
(Gp:) Supongamos que tenemos dos puntos y separados por una pequeña distancia
Punto
Temperatura
No depende del sistema de coordenadas escogido para medir las coordenadas de los puntos
La diferencia de temperaturas es un escalar
Diferencia de temperaturas entre los dos puntos físicos reales
Combinando el operador nabla con campos escalares El gradiente
Si ahora escogemos un sistema de referencia adecuado a nuestro problema
Parte izquierda de la ecuación es un escalar
Parte derecha de la ecuación: producto de tres derivadas parciales por componenentes de vector
Diferencia de temperaturas entre los dos puntos físicos reales
(Gp:) Punto
(Gp:) Temperatura
(Gp:) Componentes de
Combinando el operador nabla con campos escalares El gradiente
La diferencia de temperaturas entre dos puntos cercanos es el producto escalar del gradiente de la temperatura multiplicado por el vector desplazamiento entre los dos puntos.
Diferencia de temperaturas entre los dos puntos físicos reales
Definición de gradiente de un campo escalar
El gradiente transforma un campo escalar en un campo vectorial.
En cada punto el vector gradiente apunta en la dirección de máxima variación
Combinando el operador nabla con escalares. El gradiente en varias coordenadas
En coordenadas cilíndricas
En coordenadas esféricas
Derivada direccional
Se define la derivada direccional de un campo escalar a lo largo de una determinada dirección, determinada por un vector unitario , como la razón de cambio del campo escalar cuando nos movemos a lo largo de esa dirección
Combinando el operador nabla con vectores La divergencia
(Gp:) Podemos calcular el producto escalar del operador con un campo vectorial
El resultado es un campo escalar
(la suma es invariante ante una transformación de coordenadas)
La divergencia transforma un campo vectorial en un campo escalar
Ejemplos de campos vectoriales con distintos valores de la divergencia
Puntos 1, 2, 3 y 5 son puntos con divergencia positiva.
Punto 4 es un punto con diverencia negativa.
En la Figura (c), la divergencia es nula en todos los puntos, excepto en el origen (5)
Combinando el operador nabla con vectores. La divergencia en varias coordenadas
En coordenadas cartesianas
En coordenadas cilíndricas
En coordenadas esféricas
Combinando el operador nabla con vectores El rotacional
(Gp:) Podemos calcular el producto vectorial del operador con un campo vectorial
El resultado es un campo vectorial, cuyas componentes se pueden escribir siguiendo las reglas usuales de los productos vectoriales
En coordenadas cartesianas
Combinando el operador nabla con vectores El rotacional
(Gp:) Podemos calcular el producto vectorial del operador con un campo vectorial
El resultado es un campo vectorial, cuyas componentes se pueden escribir siguiendo las reglas usuales de los productos vectoriales
El producto vectorial se puede escribir en forma de determinante
Combinando el operador nabla con vectores El rotacional
(Gp:) Podemos calcular el producto vectorial del operador con un campo vectorial
El resultado es un campo vectorial, cuyas componentes se pueden escribir siguiendo las reglas usuales de los productos vectoriales
El rotacional transforma un campo vectorial en un campo vectorial
Las componentes del vector rotacional vienen dadas por
Ejemplos de campos vectoriales con distintos valores del rotacional.
Puntos 1, 2, 3 (panel a) y 4, 5 (panel b) son puntos con rotacional grande.
Punto 6 ( punto de flujo uniforme en el panel b), y el punto 7 (flujo divergente en el panel c) son puntos de bajo o nulo rotacional.
Significado físico del rotacional.
El rotacional de un campo vectorial mide la tendencia del campo a rotar en torno a un determinado punto.
Para encontrar las posiciones con un valor alto del rotacional:
– Imaginar que las líneas de campo representan las líneas de flujo de un fluído.
– Buscar puntos en los cuales los vectores de flujo en un lado del punto son significativamente diferentes (en magnitud, dirección o en ambos) a los vectores de fujo en el lado opuesto del punto.
– Para ayudar en este experimento mental, imaginemos que somos capaces de colocar un diminuto molino de viento en cada punto del flujo. Si el flujo hace que el molinillo de viento rote, entonces el centro del mismo marca una posición de rotacional no nulo. La dirección del rotacional estará dirigida siguiendo el eje del molinillo. Por convenio, el sentido positivo del rotacional viene determinado por la regla de la mano derecha: si uno enrosca los dedos de la mano derecha siguiendo la rotación del flujo en ese punto, el pulgar señala en la dirección positiva del rotacional.
El rotacional mide la rotación de un campo vectorial
Vamos a fijarnos en la componente x del rotacional de los campos vectoriales en las figuras
El rotacional mide la rotación de un campo vectorial
Vamos a fijarnos en la componente x del rotacional de los campos vectoriales en las figuras
Combinando el operador nabla con vectores. El rotacional en varias coordenadas
En coordenadas cartesianas
En coordenadas cilíndricas
En coordenadas esféricas
Resumen de las tres clases de combinaciones con el operador nabla
Actuando sobre un campo escalar
Actuando sobre un campo vectorial
Momento de un vector
(Gp:) El momento de un vector aplicado en un punto P con respecto de un punto O viene dado el producto vectorial del vector por el vector
(Gp:) Por la propia definición del producto vectorial, el momento es un vector perpendicular al plano derterminado por los vectores y
(Gp:) Donde es el vector que va desde O hasta P
Momento de un vector deslizante
El módulo del momento del vector deslizante vendrá dado por
(Gp:) Este módulo es constante
(tanto la distancia del punto A a la recta, , como el módulo del vector son constantes)
Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
Sistema de vectores
(Gp:) x
(Gp:) y
(Gp:) z
(Gp:) O
Supongamos un conjunto de vectores,
Definimos la resultante del sistema de vectores como
Definimos el momento resultante con respecto a un punto
Campo de momentos
(Gp:) x
(Gp:) y
(Gp:) z
(Gp:) O
Si la resultante de un sistema de vectores es nula, entonces el momento resultante es independiente del punto con respecto al que se toma
El momento resultante genera un campo vectorial. Para cada punto en el espacio podemos definir un vector: el momento resultante con respecto a ese punto
Sistema de vectores concurrentes
Un sistema de vectores concurrentes es aquel para el cual existe un punto en común para todas las rectas de acción de los vectores componentes
(Gp:) x
(Gp:) y
(Gp:) z
(Gp:) O
Teorema de Varignon para un sistema de vectores concurrentes
(Gp:) x
(Gp:) y
(Gp:) z
(Gp:) O
Dadas varias fuerzas concurrentes el momento resultante de las distintas fuerzas es igual al momento de la resultante de ellas aplicada en el punto de concurrencia.
El teorema de Varignon no se cumple para un sistema de vectores no concurrentes
Contraejemplo: un par de fuerzas
La resultante de las fuerzas se anula
El momento de las fuerzas no se anula
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