- Resumen.
- Generalidades.
- Propiedades de las
sumatorias. - Reportadas en la
literatura. - Obtenidas en este
trabajo. - Considerando simetría
en el recorrido del índice de la
suma. - Solución de Sistemas de
Ecuaciones Lineales con variable independiente de la forma
x ±
kD
x. - Conclusiones.
- Bibliografía.
El trabajo con sumas de números es frecuente en
múltiples problemas que
deben enfrentar a diario los especialistas de diversas ramas del
conocimiento,
y para su determinación se trabaja desde el punto de vista
teórico en la obtención de expresiones compactas,
no obstante las facilidades que brindan las aplicaciones de la
Ofimática,
con vistas a evitar errores provenientes de la captación
de datos.
Tomando en cuenta el amplio espectro de aplicaciones que
pueden ser beneficiadas con este tipo de resultado, en el
presente trabajo se realiza una recopilación de las
propiedades de las sumatorias reportadas en la literatura, posterior a lo
cual se proponen y demuestran otro conjunto particularmente
relevante cuando se trabaja con funciones de
variable discreta cuyo intervalos de variación son
uniformes en todo el dominio de la
función.
El estudio de fenómenos y procesos que
ocurren en la Naturaleza y la
Sociedad
conduce a la formulación de modelos que
los describen y predicen su comportamiento, los cuales, no obstante su
diversidad, pueden agruparse en dos categorías: continuos,
como la descripción de la transmisión del
movimiento a
través de una cuerda, el desplazamiento de un
vehículo, etc., o discretos, como la serie de pagos
históricos de una entidad, los registros de
temperatura de
un país o territorio, etc.
Esta última categoría, discretos, tiene
gran importancia en la actualidad atendiendo al acelerado
desarrollo de
las técnicas
digitales, que en la práctica es un proceso donde
toda la información, en última instancia, se
representa a través de conjuntos
ordenados de dos valores
lógicos: falso o verdadero.
En términos matemáticos, el estudio de las
funciones cuya variable dependiente exhibe una variación
discreta constituye una especialidad, que tiene en las sumatorias
y series un componente relevante.
Tomando en cuenta lo señalado, en el presente
trabajo se relacionan un conjunto de propiedades reportadas en la
literatura sobre las sumatorias y se deducen otras que pueden
facilitar cálculos tales como la solución de
Sistemas de
Ecuaciones
Lineales resultantes del planteamiento del
problema de la obtención de expresiones
analíticas para la derivada de funciones de variable
independiente discreta.
Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito
de números, que se denota como sigue:
donde:
S: magnitud resultante de la suma.
T: cantidad de valores a sumar.
k: índice de la suma, que varía entre h y
h+t
h: punto inicial de la sumatoria
h+t: punto final de la sumatoria
nk: valor de la
magnitud objeto de suma en el punto k
Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo
es el caso cuando t→ ∞, que se conoce como serie y se
representa de la manera siguiente:
Considerando la amplitud que reviste el análisis de las series, este tema no
será abordado en este trabajo.
III. Propiedades
de las sumatorias
Entre las propiedades generales de las sumatorias
reportadas en la literatura se encuentra las once que se
relacionan a continuación, cuya demostración se
realiza utilizando el procedimiento
matemático de Inducción Completa.
III.1
Reportadas en la literatura
Propiedad #1: 
Propiedad #2: 
Propiedad #3: 
Propiedad #4: 
Propiedad #5: 
Propiedad #6: 
Propiedad #7: 
Propiedad #8: 
Propiedad #9: 
Propiedad #10: 
Propiedad #11: 
III.2
Obtenidas en este trabajo
En la práctica existen múltiples problemas
cuya solución conduce al cálculo de
sumatorias que cumplen con requisitos especiales, como es el caso
de la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
resultante para la determinación de las derivadas de
funciones con intervalo de variación uniforme de la
variable dependiente; los problemas que exhiben simetría,
etc., bajo cuyas condiciones es posible obtener expresiones
útiles de trabajo, que simplifican las operaciones a
realizar, entre las que pueden señalarse las que se
deducen a continuación.
III.2.1
Considerando simetría en el recorrido del índice de
la suma
Una condición que trata de utilizarse siempre que
sea posible, ya que simplifica los cálculos en los modelos
de fenómenos o procesos, es la simetría, la que en
términos de las sumatorias esta característica se corresponde con la
variación del índice de la suma en el intervalo
como se indica a
continuación:
Bajo esta hipótesis de trabajo, es posible obtener el
conjunto de propiedades que se demuestran a
continuación.
Propiedad #1: 
Demostración:
Propiedad #2: 
Demostración:
Propiedad #3: 
Propiedad #4: 
Propiedad #5: 
II.2.2
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con variable
independiente de la forma x ± kD x
Una aplicación en la cual las sumatorias
simétricas adoptan un término interesante es el
caso de la obtención de expresiones analíticas por
el cálculo de las derivadas de funciones de variable
discreta, en el cual es común trabajar con términos
de la forma 
elevado a una cierta potencia. A
continuación se deducen cinco propiedades de gran utilidad
práctica.
Propiedad #1: Cálculo de 
Propiedad #2: Cálculo de
Propiedad #3: Cálculo de
Propiedad #4: Cálculo de
Propiedad #5: Cálculo de
Propiedad #6: Cálculo de
Como conclusión de este trabajo puede
señalarse que se relacionan un conjunto de propiedades de
las sumatorias descritas en la literatura, a partir de las cuales
se dedujeron diversas propiedades, que son de particular utilidad
para el cálculo de los determinantes asociados a la
solución del Sistema de
Ecuaciones Lineales resultante del planteamiento del problema de
obtención de expresiones analíticas para el
cálculo de la derivada de funciones de variable
discreta.
Challice, J.S; Clarke, G.M.:«Mathematical Analysis
of the Gaussian and Lorentzian Incremental Second Derivative
Functions», Spectrochimica Acta, vol 21 pp:791-797,
1965.
Dixit, L.; Ram,
S.:«Quantitive Analysis by Derivative Electronics
Spectroscopy», Applied Sprectroscopy Reviews, vol 21, #4,
pp:311-418, 1985.
Faddeev, D.K.; Faddeva, V.N.:«Computational
Methods of Linear Algebra», Ediciones Revolucionarias,
Cuba,
1971.
Fraser, RDB; Suzuki, E.:«Resolution of Overlapping
Bands: Functions for Simulating Bands Shapes», Analytical
Chemistry, vol 41 #1, pp:37-39, ene/69.
Glez, M.O.; Mancill, J.D.: «Álgebra
Elemental Moderna», Editora Pedagógica, Tercera
Edición, Vol·II, Cuba, 1961
Mesa, J.; Bermello, A.: «Cálculo de las
derivadas de hasta cuarto orden de funciones de variable
discreta», en preparación para enviar a
monografías.com
Samarski, A.A.:«Introducción a los Métodos
Numéricos», Editorial MIR, Moscú,
1986.
Spivak, M.:«Calculus», Ediciones
Revolucionarias, Cuba, 1974.
Suárez, M.: «Matemática
Numérica», Pueblo y Educación, Cuba
1982.
Taylor, A.E.: «Advanced Calculus», Ediciones
Revolucionarias, Cuba, 1968.
ASM Handbook of Engineering Mathematics, American
Society of Metals, USA, 1983.
Autor:
M.Sc. Lic. Jesús Mesa Orama,
Especialista de Normas y Procedimientos,
Sociedad Havanatur S.A., Corporación CIMEX S.A.