APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DUPLAS

1.) DENSIDADE E MASSA

Seja uma lâmina colocada numa região R do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em R é dada por , onde é uma função contínua sobre R.
A massa total da lâmina é dada por:
Exerc.1: Uma lâmina tem a forma de um retângulo com dois lados consecutivos de comprimento igual a 2 cm e a 4 cm. Determine a massa da lâmina, medida em gramas, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é .
Resp.:

Exerc. 2: Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo com dois lados de comprimento igual a 2 cm. Determine a massa da lâmina, medida em gramas, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é .
Resp.:

2.) …exibir mais conteúdo…

O significado físico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa. Assim, a lâmina permanece horizontal quando equilibrada em seu centro de massa.
As coordenadas do centro de massa de uma lâmina ocupando a região R e tendo função densidade são:

ou

Exerc. 6: Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo de vértices (2,4), (2,0) e (0,0). Determine o centro de massa, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é .
Resp.:

Exerc. 7: Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo com dois lados de comprimento igual a 2 cm. Determine o centro de massa da lâmina, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é . Resp.: o centro de massa é

Exerc. 8: Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), sabendo que a função densidade é .
Resp.: centro de massa é o ponto
Exerc. 9: Uma lâmina tem a forma da R delimitada pela parábola e pela reta . A densidade de massa por área no ponto P(x, y) é , isto é, a densidade de massa por área no ponto P é diretamente proporcional à distância do eixo y a P. Ache o centro de massa.
Nota: Observe que da forma da função densidade e da simetria da região, pode-se afirmar que o centro de massa está sobre o eixo x, isto é, .
Resp.: O centro de massa é o