UNIDAD V LA PARÁBOLA OBJETIVO PARTICULAR
Al concluir la unidad, el alumno identificará y aplicará las propiedades relacionadas con el lugar geométrico llamado parábola, determinando los distintos parámetros, su ecuación respectiva y viceversa.

Se le llama parábola al conjunto de puntos cuyas distancias a un punto fijo y a una recta fija, llamados foco y directriz respectivamente, sean iguales. 5.1 ECUACIÓN EN FORMA ORDINARIA O CANÓNICA 5.1.1. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA: VERTICE, FOCO, DIRECTRIZ, PARAMETRO Y LADO RECTO. (FIG. 1): Al igual que en las ecuaciones estudiadas anteriormente, la parábola cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, mismos que se definen a continuación: • • • VÉRTICE (V): …ver más…

Atendiendo a la definición de la parábola, se sabe que la distancia entre un punto “p” cualquiera de coordenadas (x,y), y el foco “f” será igual a la distancia existente entre la recta directriz (d) y dicho punto, según se aprecia en la fig 1A.
Y

(-p,y)

D

P (x,y)

(-p,0)

(0,0) V

F (p,0)

X

FIG. 1A

De lo anterior resulta:
_____ _____

PD = PF Calculando la distancia entre los puntos anteriores mediante la fórmula de distancia entre dos puntos, resulta:
_____

PD = ( x − (− p) ) + ( y − y )
_____

2

2

PD = ( x + p ) 2

y
_____

PF = ( x − p ) + ( y − 0 )
_____

2

2

PF = ( x − p ) 2 + y 2

Sustituyendo en la expresión de distancias resulta:

( x + p )2 = ( x − p )2 + y 2
Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:

( x + p) 2 = ( x − p ) 2 + y 2 x 2 + 2 px + p 2 = x 2 − 2 px + p 2 + y 2 x 2 + 2 px + p 2 − x 2 + 2 px − p 2 = y 2

Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene: y 2 = 4 px

(I)

La cual, es la ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica. Análogamente a la demostración anterior, se puede obtener la ecuación que describe una parábola cuyo vértice no coincide con el origen del sistema de ejes coordenados. (ver sección 5.1.3)

LONGITUD DEL LADO RECTO Procediendo de una manera similar