iSantiago, Octubre 9 de 2009.

´ Tercera Prueba de Algebra I.
Nombre: 1. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones. a) Si A ∈ Mn (R) es invertible, entonces |Adj(A)| = |A|n−1 . b) Si xn + iyn = 1+i √ 2 n (07 puntos) (08 puntos) (15 puntos)

1 entonces xn yn−1 − yn xn−1 = √ . 2

2. Use operaciones elementales para determinar si la siguiente igualdad es v´lida: a 1+a 1 1 1 1 1+b 1 1 1 1 1+c 1 1 1 1 1+d 3. Dado el sistema: ax + 3y + z = 1 x + ay + z = 3 x + y + az = a2 Determine los valores de a ∈ R, si existen, para los cuales el sistema: a) tiene infinitas soluciones. b) es inconsistente. c) tiene soluci´n unica, y determine dicha soluci´n. o ´ o

= abcd

1 1 1 1 + + + +1 a b c d

(15 puntos) …ver más…

a

ax + 3y + z = 1 x + ay + z = 3 x + y + az = a2

eb a

d d d −d− − a b c 1 1 1 1 + + + +1 a b c d

de

3

aI d c

ya que abcd = 0

F4 + F2 + F3 → F4

-L

1 1 1 1+d 0 b 0 −d =− 0 0 c −d 0 −a −a −a − d − ad

F1 ↔ F4

CC .2

F1 − (1 + a)F4 → F 1 F2 − F4 → F 2 F3 − F4 → F 3

00

9.

Por lo tanto si consideremos la matriz asociada al sistema y realizamos operaciones elementales, obtenemos:    1 1 a a2 1 1 a a2  1 a 1 a  ∼  0 a − 1 1 − a a − a2  a 3 1 1 0 3 − a 1 − a2 1 − a3   1 1 a a2 2 2 − a − a2 1 + a − a2 − a3  ∼ 0 0 3−a 1 − a2 1 − a3  

√ −1 ± 17 4 − 5a + a = 0 ⇐⇒ (−1 + a)(a + a − 4) = 0 ⇔ a = 1 ∧ a = 2
3 2

Adem´s la soluci´n del sistema es: a o     x   y =   z   Por otro lado si a = 1, se tiene: 

Por lo tanto se tiene que el sistema posee infinitas soluciones.

4. El departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comidas a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se suministran al lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del