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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Introducción:
La Geometría Analítica es el estudio de figuras o cuerpos geométricos mediante técnicas básicas de análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Los dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener la ecuación
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que cumplen la ecuación.
La Geometría Analítica permite representar figuras geométricas mediante modelos matemáticos del tipo f (x, y) = 0 ó f (x, y, z) = 0 dependiendo si se está trabajando en el plano (R2 ) o en el espacio (R3 ). Su estudio será la base para …ver más…

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2

3.2.1

Punto Medio

Las coordenadas del punto medio de un segmento rectilíneo de extremos P (x1 , y1 ) y Q (x2 , y2 ), denotadas por (x, y) están dadas por la semisuma de las coordenadas de P y Q respectivamente.
(x, y) =

x1 + x2 y1 + y2
,
2
2

Ejemplo 3.4 El punto medio del segmento de extremos P (−2, 5) y Q (4, −1) es el punto de coordenadas (1, 2)
Ejemplo 3.5 Hallar los puntos medios del triángulo del ejemplo anterior.
Solución:
Los puntos son A (−2, −1) , B (2, 7) y C (4, −4) : Punto medio AB = (0, 3) . Punto medio
AC = 1, − 5 . Punto medio BC = 3, 3 .
2
2
3.2.2

División de un segmento en una razón dada.

Sea AB un segmento rectilíneo con A (x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ) y sea P (x, y) un punto de AB tal
AP
que P B = λ con λ > 0.
Interesa hallar las coordenadas del punto P .
AP
Como P B = λ se tiene AP = λP B que se resuelve aprovechando la semejanza de los triángulos ARB y P SB de la figura 3.4
AP = λP B es equivalente a decir que RS = λSB corresponde a |x − x1 | = λ |x2 − x|de donde x (1 + λ) = x1 + λx2 y por lo tanto x= x1 + λx2
1+λ

Figura 3.4 División de un segmento en una razón λ dada

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Análogamente, si consideramos los triángulos AQP y P SB, AP = λP B es