E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema 3: Solución aproximada de ecuaciones
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Octubre 2008, Versión 1.3

Contenido 1. Método de la bisección. 2. Método de Newton-Raphson. 3. Orden de convergencia: convergencia cuadrática. 4. Método de punto fijo.

1
1.1

Método de la bisección
Teorema de Bolzano
¾

Teorema 1.1 (Bolzano) f (x) continua en [a, b], f (a) · f (b) < 0. =⇒ Existe un α ∈ (a, b) tal que f (α) = 0.

Ejemplo 1.1 Demuestra que la ecuación cos x = x tiene solución única en (0, π/2).

1

Resumen y ejemplos Ponemos la ecuación en la forma

Solución aproximada de ecuaciones. 2

cos(x) − x = …ver más…

¤ 2n b1 − a1 b1 − a1 = , 16 24 |e5 | ≤ b1 − a1 b1 − a1 = , 32 25 bn−1 − an−1 . 2

Ejemplo 1.3 Aplicamos el método de la bisección para aproximar la solución de f (x) = 0 en el intervalo [0, π/2]. (a) Calcula una cota de error para la fase 10. (b) Calcula el número de pasos necesarios para aproximar la solución con 4 decimales exactos. (a) Tenemos π/2 − 0 = 0.1534 × 10−2 210 Podemos asegurar dos decimales exactos. Observemos que en el Ejemplo 1.2, después de 10 pasos, hemos obtenido un error |e10 | ≤ |e10 | = |α − c10 | = 0.00125. (b) Para asegurar 4 decimales exactos, exigimos ¡π¢ |en | = |α − cn | ≤ 2 ≥ tomando logaritmos n 2

2n

≤ 0.5 × 10−4 , ,

de donde resulta

0.5 × 10−4

¡π¢
2

n ln 2 ≥ ln (10000π) , Por lo tanto, necesitamos 15 pasos. ¤ n ≥ 14. 93920.

Resumen y ejemplos

Solución aproximada de ecuaciones. 6

2
2.1

Método de Newton-Raphson
Planteamiento y descripción del método

Objetivo Aproximar la solución de f (x) = 0, con • f (x) derivable, • partiendo de una aproximación inicial de la solución x0 .

Método

Ejemplo 2.1 Aproximar la solución de

⎧ ⎨ x0 = aproximación inical, f (xj ) . ⎩ xj+1 = xj − 0 f (xj ) cos(x) − x = 0

con 6 decimales. Hemos visto que la ecuación tiene solución en [0, π/2], podemos tomar como aproximación inicial x0 = π/4 x0 = π/4 = 0.78539 816. El método es, en este caso, f (x) = cos(x) − x, f 0 (x) = − sin (x) − 1, ⎧ ⎨ x0 = 0.78539 816, cos (xj ) − xj . ⎩ xj+1 = xj + sin (xj ) + 1

El