APLICACIONES LINEALES.
INTRODUCCIÓN: APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS.
Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada elemento de A, uno de B. La aplicación f del conjunto A en el conjunto B se indica mediante f: A  B → o bien

f→ A  B.
El conjunto A se llama conjunto inicial, y el B conjunto final. Si la aplicación f asigna al elemento a∈A el elemento b∈B, diremos que b es la imagen de a, lo que se denota por f(a) = b. La regla ha de estar inequívocamente definida, de modo que para todos y cada uno de los elementos de A, esté claro qué elemento de B es su imagen. Clasificación de las aplicaciones: • Se dice que una aplicación es inyectiva si no hay dos elementos que tengan imágenes iguales. Una …ver más…

2. Veamos ahora la siguiente aplicación de ℜ2 en ℜ4 : ℜ2 (x,y)  ℜ4 → (x, y, x+y,1 )

g

Si encontramos un caso concreto en que no se cumpla (2a) o (2b), la aplicación ya no será lineal. En efecto, (1,0) (2,0) (1,0,1,1) (2,0,2,1) Al multiplicar un vector por 2, su imagen no ha quedado multiplicada por 2.

Por tanto g no es lineal. Por su importancia o significado geométrico, destacamos algunas aplicaciones lineales: 1. Aplicación identidad: de un espacio vectorial en sí mismo. Asigna a cada vector el mismo vector. V u

id → V  u

2. Aplicación nula: entre dos espacios vectoriales V y W, asigna a todo vector de V el vector cero de W. V u

n→ W 
0

3. Giros: pueden hacerse en el plano o el espacio ( ℜ2 ó ℜ3 ). Por ejemplo la siguiente aplicación en ℜ2 hace girar a todos los vectores del plano 45º en sentido antihorario: ℜ2 (x,y)  ℜ2 → (
2 2

x-

2 2

y,

2 2

x+

2 2

y)

4. Reflexiones o simetrías: en el espacio ℜ3 podemos “reflejar” los vectores como en un espejo, respecto a un plano dado. En el plano ℜ2 podemos hacerlo respecto a una recta. Por ejemplo, la siguiente aplicación es una simetría en ℜ3 , respecto del plano XZ. ℜ3 (x,y,z)  ℜ3 → (x, - y,z)

Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

Aplicaciones Lineales 3

5. Homotecias: Multiplican los vectores por un cierto escalar (el mismo para todos los vectores). Si el escalar es mayor que 1, se trata de una dilatación, mientras que si es menor que 1 se trata