METODO DE LA BISECCIÓN Si f :a, b     es continua con fafb  0, el procedimiento de la bisección genera una sucesión (s n ) n convergente siendo s n  a n  b n y tal 2 que si lim s n  s se cumple que fs  0 y n  s n  s  b n a 2

ALGORITMO DE LA BISECCION Cálculo de una solución aproximada de la ecuación fx  0, siendo f continua en a, b y fafb  0.

ENTRADA: a, b, f; N (número máximo de iteraciones) SALIDA:Solución aproximada s 1.Tomar i  1 2. Mientras que i  N hacer 2.1. s  a  b/2 2.2. Si fs  0 entonces ssolución exacta. 2.3. Si fafs  0 entonces b  s Si fafs  0 entonces a  s 2.4. i  i  1 3. Salida s: "solución aproximada" 4.FIN

EJEMPLO 1 La funcion fx  x 3  4x 2  10 …ver más…

Teorema: Sea a, b y f  C 2 a, b, verificando: i fafb  0 ii  x  a, b f´x  0 iii  x  a, b f´´x  0 ó  x  a, b f´´x  0 Entonces f tiene una única raíz s en a, b y si s 0  a, b verifica que fs 0 f´´s 0   0, la sucesión de Newton converge a s.

EL ERROR EN EL METODO DE NEWTON Definición:Si lim s n  s, se dice que (s n  tiene orden de convergencia   0 si:  s n1  s  lim 0  n  s n  s  Si   1, la convegencia es lineal. Si   2, la convegencia es cuadrática. Teorema: la sucesión de Newton-Raphson tiene orden de convergencia cuadrática. Teorema: Sea f  C 2 a, b, s  a, b una raíz de f tal que f´s  0 y f´´s  0. Supongamos que existen m y M tales que x  a, b  f´x  m y  f´´x  M. Entonces si (s n  es la sucesión de Newton-Raphson y converge a s se tiene  s n1  s  s n1  s n  2 M m Nota:Otros procedimientos de paro que n se van a poder aplicar a cualquier técnica iterativa es que dado un cierto   0 pararemos cuando  s n1  s  

EJEMPLO 4 Aplicando el método de Newton-Raphson resolver la ecuación
4x7 x2

0

y

20 15 10 5 0 0 -5 -10 0.5 1 1.5 2 2.5 x 3

y(4x-7)/(x-2)

n sn

sn

sn

sn

0 1 2 3 4

1 1.5 4 2 22 ERROR 1642 

1.725 1.7525 1.75 1.75

2.1 2.24 2.7104 5.4344 56.1988

Ejemplo 6: Usar el método de Newton para aproximar la solución de la ecuación 3x 2  expx