Límite y Continuidad de Funciones (página 2)

Partes: 1, 2

Tomando , luego,
para esos valores de
y los números
x que pertenecen al intervalo abierto verifican la
proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en
el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se
tiene:

entonces

Esto verifica la proposición (A) para el valor
específico tomado para x.

2) Demostrar usando la definición de
límite que

Como la función
está definida en cualquier intervalo abierto que contenga
al 1, excepto en el número 1, podemos aplicar la
definición para realizar la demostración. En
efecto,

si
entonces
(B)

si
entonces

Ahora, cuando x se acerca a 1, x +2 se
acerca a 3, luego, entonces, por lo tanto, De la proposición (B) se obtiene que, si entonces Si tomamos se cumple la
proposición (B), lo que demuestra que

Ejercicios
propuestos 1.

Demuestre, aplicando la definición que el
límite es el número indicado.

Con la finalidad de calcular los límites de
funciones de
una manera más fácil y eficaz, que aplicando la
definición, son empleados los teoremas 2.1 al
2.10.

Teorema 1. Límite de una función
lineal.

Sea
donde m y b son dos números reales
cualesquiera y, entonces

Ejemplo 2.

Teorema 2. Límite de una función
constante.

Si c es una constante (un número real
cualquiera), entonces

Ejemplo 3.

Teorema 3. Límite de una función
identidad.

Sea ,
entonces

Ejemplo 4.

Teorema 4. Límite de la suma y de la
diferencia de funciones.

Si y
,
entonces

Ejemplo 5.

Sean,
y entonces,
y

Teorema 5. Límite de la suma y de
diferencia de n funciones.

Si entonces:

Teorema 6. Límite del producto de
dos funciones.

Si y
,
entonces

Ejemplo 6.

Sean, y entonces,

Teorema 7. Límite del producto de n
funciones.

Si entonces

Teorema 8. Límite de la n-ésima
potencia de una
función.

Si y
n es cualquier número entero positivo,
entonces

Ejemplo 7.

Sea,
entonces,

Teorema 9. Límite del cociente de dos
funciones.

Si y
,
entonces

Ejemplo 8.

Sean, y entonces,

Teorema 10. Límite de la raíz
n-ésima de una función.

Si n es un número entero positivo y
,
entonces

con la restricción que si n es par,
L > 0.

Ejemplo 9.

Sea,
entonces

Teorema 12. Límite del logaritmo de una
función.

Sean: b un número real positivo y distinto
de 1, y entonces

Ejemplo 10.

Calcule: aplicando el teorema 2.12.

Apliquemos el teorema exigido:

Sin aplicar el teorema:

Teorema 11. Unicidad del límite de una
función.

Si y
entonces,

Este teorema asegura que si el límite de una
función existe éste es único.

Infinitésimo

La función f es un infinitésimo en
el punto a si y sólo si

Ejemplos 10.

1) La función f (x) = x es
un infinitésimo en 0 pues

2) La función g (x) = x
– 1 es un infinitésimo en 1 porque

3) La función h (x) = sen x
es un infinitésimo en 0 ya que

4) La función m(x) =
4-2x es un infinitésimo en 2 pues

5) La función r(x) = cos x
es un infinitésimo en porque

Infinitésimos equivalentes.

Dos infinitésimos en un mismo punto son
equivalentes, cuando el límite de su cociente es la
unidad.

Cuando en un límite, un infinitésimo
esté multiplicado o dividido se le puede sustituir por
otro infinitésimo equivalente. La suma de varios
infinitésimos de distinto orden se puede reducir al
infinitésimo de menor orden.

Infinitésimos más frecuentes en
0.

Ejemplos 11.

Ejercicios
propuestos 2.

Calcule los siguientes límites:

1) 2)
3) 4) 5)

6) 8)
9) 10) 11) 12) 13)

Límite por la izquierda.

Sea f definida en cada número del
intervalo abierto El límite de f (x), cuando x se
acerca al número a por la izquierda es L, lo
cual se escribe si para cualquier sin importar que tan pequeña sea, existe una
tal
que

si entonces

Límite por la derecha.

Sea f una función definida en cada
número del intervalo abierto El límite de f(x),
cuando x se acerca al número a por la
izquierda es L, lo cual se escribe si para cualquier
sin importar
que tan pequeña sea, existe una tal que

si entonces

Teorema 12.

El
existe y es igual a L, si y sólo si, y existen y son iguales a
L.

Funciones que
crecen sin límite

Sea f una función definida en algún
intervalo abierto que contiene al número a, excepto
posiblemente en a mismo. La función f
(x) crece sin límite, cuando x se aproxima
al número a, lo cual se escribe si para cualquier
N > 0 existe una tal que:

si entonces f (x) >
N

Ejemplo 13.

Supongamos que f es la función definida
por La
gráfica de esta función se muestra en la
figura siguiente.

El comportamiento
de la función f es que crece sin límite
cuando x se acerca al número cero por la izquierda
o por la derecha. Cuando esto sucede decimos que el límite
de f(x) es menos infinito cuando x tiende al
número 0, lo que se indica mediante la siguiente
notación:

Funciones que decrecen sin
límite.

Sea f una función definida en algún
intervalo abierto que contiene al número a, excepto
posiblemente en a mismo. La función f
(x) decrece sin límite, cuando x se aproxima
al número a, lo cual se escribe si para cualquier
N < 0 existe una tal que

si entonces f (x) <
N

Ejemplo 14.

Supongamos que f es la función definida
por la ecuación La gráfica de f se muestra en la figura
siguiente.

A partir de la gráfica se observa que el
comportamiento de la función f es que decrece sin
límite cuando x se acerca a "0" por la izquierda o
por la derecha. Este comportamiento lo expresamos diciendo que el
límite de f (x) es menos infinito cuando
x tiende a cero, lo que se escribe de la siguiente manera:

Ahora consideremos la función h definida
por la ecuación La gráfica de h se presenta en la
figura 4.

El comportamiento de h cuando x se acerca
al número 1 por la izquierda es diferente a su
comportamiento cuando x se acerca al 1 por la derecha.
Cuando se acerca al 1 por la izquierda h(x) decrece
sin límite, mientras que cuando x se acerca al 1
por la derecha h(x) crece sin
límite.

Estos comportamientos de h lo escribimos de las
siguientes maneras: y

Ejemplos 15.

Determine el límite analíticamente y apoye
la respuesta trazando la gráfica de la
función.

Solución:

La gráfica de la función es mostrada a
continuación.

En la gráfica se observa que cuando x se
acerca al número 2 por la derecha g(x) crece
sin límite.

Solución

La gráfica de la función es mostrada en la
figura 6.

Observemos que f (x) decrece sin
límite cuando x se acerca al 0 por la
izquierda.

Solución:

La gráfica de la función se muestra en la
figura 7:

Observando la gráfica podemos verificar que
cuando x se acerca al número -2 por la derecha,
f (x) decrece sin límite.

Límites
indeterminados.

Los límites indeterminados que estudiaremos en
éste capítulo son:

La forma indeterminada

Si f y g son dos funciones tales
que y entonces la
función
tiene la forma indeterminada en a.

La manera de resolver los límites indeterminados

será explicada mediante dos:

Ejemplos 16.

1) Calcular

Se tiene que y
entonces,

Para eliminar la indeterminación, factorizamos el
numerador y el denominador, simplificamos y resolvemos el
límite obtenido, así:

Por lo tanto,

2) Calcular

Aquí tenemos:

y
luego,

En éste caso procedemos de la siguiente manera:
multiplicamos el numerador y el denominador por la conjugada de
dicha conjugada
es: luego se
resuelve el límite resultante, así:

Por lo tanto,

La forma indeterminada

Si f y g son dos funciones tales
que y entonces la
función
es indeterminada con la forma

La forma de resolver éstos límites
será explicada mediante dos ejemplos.

Ejemplos 17

Calcular

Es evidente que y por lo tanto, Para resolver éste límite dividimos
el numerador y el denominador entre la x de mayor
exponente, así:

Por lo tanto,

2) Calcular

En este caso y , por lo tanto,

Para
resolver, dividamos el numerador y el denominador entre pues éste es la
potencia de x de mayor exponente, así:

Por lo tanto,

La forma indeterminada

Si f y g son dos funciones tales que
y entonces la
función
es indeterminada de la forma La manera de resolver éstos límites
será explicado con ejemplos.

Ejemplos 18

1) Calcular

Comoyentonces,Para resolver éste límite racionalizamos,
así:

Hemos transformado el límite en otro
indeterminado de la forma que se resuelve dividiendo el numerador y el
denominador entre x, así:

Por lo tanto,

2) Calcular

Como:

y
entonces,

Para resolver éste límite racionalizamos,
así:

El límite se transformó en otro
indeterminado de la forma que se resuelve dividiendo el numerador y el
denominador entre la potencia de x de mayor exponente, que
en el caso que nos ocupa es así:

Por lo tanto,

Teorema 23. Teorema de estricción o del
encaje.

Si
para todo x en un intervalo abierto que contiene a
a, excepto en el propio a y si entonces

Ejemplo 2.19.

Sean f, g y h las funciones
definidas por
y

Las gráficas de estas funciones están
trazadas en la figura 8.

Las gráficas de h, f y g son
parábolas que tienen sus vértices en el punto (3;
2). Las tres funciones están definidas en x = 3.
También se observa que Además, y Por lo tanto, de acuerdo al teorema de
estricción

Ejercicios
propuestos 3

Calcule los siguientes límites.

1) 2)
3) 4)

6)
recuerde que:

7) recuerde que:

8) 9)
10)

11)
12) 13)

Dadas las funciones indicadas, calcule el límite
señalado si existe, sino existe establezca la
razón.

14)

15)

Utilice el teorema de estricción para determinar
el límite.

16) si
para toda
x

17)
dado que para
toda x en el intervalo

18)
dado que para
toda x en el intervalo

Continuidad de
una función.

Función continua en un
número.

Una función f es continua en un
número a si y sólo si se satisfacen las tres
condiciones siguiente:

f (a) existe;
existe;

Si por lo menos una de estas tres condiciones no se
cumple en a, entonces se dice que la función
f es discontinua en a.

Ejemplos 20.

1) La función definida por es discontinua en 2,
pues dicha función no está definida en el 2. Veamos
como es su comportamiento gráficamente, mostrado en la
figura 9.

La gráfica muestra un salto en el punto (2; 4), esto se
debe a la discontinuidad de la función en x= 2, por
lo tanto, f(2) no existe. Observando la gráfica se
sospecha que
existe y es igual a 4.

Veamos si esto es cierto:

Cuando una función f presenta las
características anteriores, es decir, no está
definida en un número a pero existe, se dice que
f presenta una discontinuidad removible o
eliminable, porque si f es redefinida en a
de manera que la nueva función es continua en a. Si una
discontinuidad no es removible se dice que es una
discontinuidad esencial.

La discontinuidad de la función es removible, porque si
se redefine en 2, se obtiene la siguiente
función:

La función F es continua en 2, puesto que,

2) Sea g la función definida por La gráfica de la
función es mostrada en la figura 10.

La gráfica de g se rompe en el punto donde
pues la
función no está definida en dicho punto.
Además,
y luego,
no existe. Por
lo tanto,

i) no
está definida.

ii) no
existe.

Entonces, la función g es discontinua en
y la
discontinuidad es esencial porque no existe. La discontinuidad de
éste ejemplo recibe el nombre de discontinuidad
infinita.