1.
Introducción
2. Funciones
3. Aplicaciones de las funciones
reales
4. Consecuencias de la
definición de logaritmo
5. Funciones
Trigonométricas
6. Conclusiones
7.
Bibliografía
En el presente trabajo, se detallarán las
características de las diferentes funciones
matemáticas y sus aplicaciones sobre las
distintas ciencias y la
vida cotidiana.
Las funciones a las
que nos dedicaremos son las siguientes:
Función
Trigonométrica
Función
Cuadrática
Función Afín (Lineal)
Función Logarítmica
Función Exponencial
Función Polinómica
El principal objetivo de
esta monografía
es poder entender
el uso de las funciones y así poder
utilizarlas frente a los problemas
diarios. El método de
investigación es la consulta
bibliográfica y el análisis de la misma.
Una función, en matemáticas, es el término usado
para indicar la relación o correspondencia entre dos o
más cantidades. El término función fue usado
por primera vez en 1637 por el matemático francés
René Descartes para
designar una potencia xn de la
variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried
Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a
varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta
recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido
en 1829 por el matemático alemán, J.P.G.
Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una
variable es un símbolo que representa un número
dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y
Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X
entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna
automáticamente un valor a Y, se
dice que Y es una función (unívoca) de X. La
variable X, a la que se asignan libremente valores, se
llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos
valores
dependen de la X, se llama variables
dependientes. Los valores
permitidos de X constituyen el dominio de
definición de la función y los
valores que toma Y constituye su recorrido".
Una función f de A en B es una relación
que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un
elemento y E B, llamado imagen de x por
f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A
à B
Es decir que para que una relación de un conjunto A en
otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a
saber:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir,
ningún elemento del dominio puede
tener más de una imagen.
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen
de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen
o recorrido de f.
Observaciones:
En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo
una imagen y E B.
Un elemento y E B puede:
No ser imagen de ningún elemento x E A
Ser imagen de un elemento x E A
Ser imagen de varios elementos x E A.
La relación inversa f-1 de una función f
puede no ser una función.
Formas de expresión de una función
Mediante el uso de tablas:
X | Y |
-1 0 ½ 1 2 | 1 0 ¼ 1 4 |
Gráficamente: cabe aclarar que llamamos
gráfica de una función real de variable real al
conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes
cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E
A
3. Aplicaciones de las
funciones reales
Generalmente se hace uso de las funciones reales,
(aún cuando el ser humano no se da
cuenta), en el manejo de cifras numéricas en
correspondencia con otra, debido a que se está usando
subconjuntos de los números reales. Las funciones
son de mucho valor y utilidad para
resolver problemas de
la vida diaria, problemas de finanzas, de
economía,
de estadística, de ingeniería, de medicina, de
química y
física, de
astronomía, de geología,
y de cualquier área social donde haya que relacionar
variables.
Cuando se va al mercado o a
cualquier centro comercial, siempre se relaciona un
conjunto de determinados objetos o productos
alimenticios, con el costo en pesos
para así saber cuánto podemos comprar; si lo
llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una
ecuación de función "x" como el precio y la
cantidad de producto como
"y".
Función Afín
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso
de la oferta y la
demanda)
los ecónomos se basan en la linealidad de esta
función y las leyes de la
oferta y la
demanda son
dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por
ejemplo, si un consumidor desea
adquirir cualquier producto,
este depende del precio en que
el artículo esté disponible. Una
relación que especifique la cantidad de un artículo
determinado que los consumidores estén dispuestos a
comprar, a varios niveles de precios, se
denomina ley de
demanda. La ley más
simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el
precio por unidad del artículo y m y b son
constantes.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal
en el caso de la medicina.
Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones
lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un
ejemplo es el resultado del experimento psicológico de
Stenberg, sobre recuperación de información.
Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números
reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente.
Su gráfica es una recta.
Dada la ecuación y=mx+b:
Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función
constante, cuya gráfica es una recta paralela al eje x que
pasa por el punto (0,b).
Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por
gráfica una recta que pasa por el origen de coordenadas
(0,0).
Función Cuadrática
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de
interés
no sólo en matemática
sino también en física y en otras
áreas del conocimiento
como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al
aire, la
trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de
una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la
cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen,
con respecto al tiempo
transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una
velocidad
inicial.
Puede ser aplicada en la ingeniería
civil, para resolver problemas específicos
tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado,
en la construcción de puentes colgantes que se
encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos
torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas
para estudiar los efectos nutricionales de los
organismos.
Existen fenómenos físicos que el hombre a
través de la historia ha tratado de
explicarse. Muchos hombres de ciencias han
utilizado como herramienta principal para realizar sus
cálculos la ecuación cuadrática.
Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de
una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el
suelo
está dada por S= V0t – ½ gt2, donde S es la altura,
V0 es la velocidad
inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t
es el tiempo.
La función cuadrática responde a la formula: y= a
x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una
curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si
a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función
alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
intersección
con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la
ecuación de segundo grado.
Función Logarítmica
La geología
como ciencia
requiere del planteamiento de ecuaciones
logarítmicas para el cálculo de
la intensidad de un evento, tal como es el caso de un
sismo. La magnitud R de un terremoto está definida
como R= Log (A/A0) en la escala de
Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la
amplitud de un sismógrafo estándar, que está
a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).
Los astrónomos para determinar una magnitud
estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos
cálculos de carácter
logarítmico. La ecuación logarítmica les
permite determinar la brillantez y la magnitud.
En la física la función logarítmica tiene
muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el
cálculo
del volumen "L" en
decibeles de un sólido, para el cual se emplea la
siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la
intensidad del sonido (la
energía cayendo en una unidad de área por
segundo), I0 es la intensidad de sonido más
baja que el oído
humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una
conversación en voz alta tiene un ruido de fondo
de 65 decibeles.
El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la
base b elevada a N da como resultado a.
Logb a = N si bN = a
Notación logarítmica
Notación exponencial
4. Consecuencias de la
definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 =
0, ya que b0 = 1
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a
= 1, ya que b1 = a
3. El logaritmo de una potencia cuya
base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la
potencia: logb am = m, ya que bm = am
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número
negativo o cero.
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que
1, estrictamente, 0<N<1, es negativo si la base b del
logaritmo es b>1.
6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que
1, estrictamente, 0<N<1, es positivo si la base b del
logaritmo es b<1.
7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base
es b>1.
8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base
es b<1.
Propiedades de los logaritmo
Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto de dos números es igual a la
suma de los logaritmos de cada uno de ellos.
logb(X · Y)= logb X + logb Y
Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente de dos números es igual al
logaritmo del numerador menos el logaritmo del
denominador.
Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado
por el logaritmo de la base de la potencia.
loga Xn = n loga X
Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del
radicando dividido entre el índice de la
raíz.
Función Exponencial
Se aplica a la química y
física. En algunos elementos radioactivos son de tal
naturaleza que
su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley
exponencial y se dice que el elemento decrece o decae.
En la química, el PH de una
sustancia se define como : H = -Log H+,
donde H+ es la concentración de
iones de una sustancia expresada en moles por litro. El
PH del
agua destilada
es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es
ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice
que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH
del agua de lluvia
debido al efecto dañino de la "lluvia
ácida" que se origina por las emisiones de
dióxido de azufre de las fábricas y plantas
eléctricas que trabajan con carbón.
Otras de la aplicación de las funciones
exponencial fue con el descubrimiento del Polonio (elemento
radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae
exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t,
donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de
un tiempo y t es el tiempo en días.
El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años, parece
estar sobre una curva de característica exponencial que
sugiere el modelo
matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo
transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el
economista inglés
Thomas Malthus observó que la relación N = N0
ekt era válida para determinar el crecimiento de la
población mundial y estableció, además, que
como la cantidad de alimentos
crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver
el problema del hambre. Esta lúgubre
predicción ha tenido un impacto tan importante en el
pensamiento
económico, que el modelo
exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de
modelo Malthusiano).
En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el
cuerpo humano,
de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de
disminución.
En Matemática
Financiera (Administración), para el cálculo de
interés
compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por
ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de
dinero P0 que
se coloca a un interés
anual del i%. Al final del primer año se tendrá el
capital
inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si
este proceso se
continúa por n años, la expresión que se
obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el
capital final
si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0
es el capital inicial, i es la tasa de
interés (anual, mensual, diaria) y n es el
período de tiempo (año, meses, días,
etc.).
Se llama función exponencial de base a, siendo a un
número real positivo y distinto de 1, a la función
f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de
x».
Propiedades de la función exponencial y = ax
1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 =
1
2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 =
a
3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x
)>0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es
positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado
un número positivo.
4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la
función es creciente.
5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la
función es decreciente.
Ecuaciones Exponenciales
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como
exponente son ecuaciones exponenciales.
No hay ninguna fórmula general que indique cómo
resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la
práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino
tomar.
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos
resultados y propiedades:
1. ax = ay x = y
Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar
los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma
base.
Las funciones
trigonométricas son valores sin unidades que dependen
de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo
situado en un plano de coordenadas rectangulares está en
su posición normal si su vértice coincide con el
origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje
x.
En la figura 3, el punto P está situado en una
línea recta que pasa por el origen y que forma un
ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas
x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante
(I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será
cero si el punto P está en el eje y o y será cero
si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el
origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el
teorema de Pitágoras.
Las seis funciones
trigonométricas más utilizadas se definen de la
siguiente manera:
Como la x y la y son iguales si se añaden 2p
radianes al ángulo —es decir, si se añaden
360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo
ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas
definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres,
es decir,
Si el punto P, de la definición de función
trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero;
por tanto, puesto que la división por cero no está
definida en el conjunto de los números reales, la tangente
y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y
-270° no están definidas. Si el punto P está en
el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante
de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco
está definida. Todos los ángulos tienen seno y
coseno, pues r no puede ser igual a 0.
Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del
sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q
son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y
la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que
-1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de
las funciones trigonométricas no depende de la longitud de
r, pues las proporciones son sólo función del
ángulo.
Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones
trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar
a q como se explica a continuación. Si el vértice A
estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de
la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y
si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q =
y/r = a/c, y así sucesivamente:
Los valores numéricos de las funciones
trigonométricas de ciertos ángulos se pueden
obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo
rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y
que b = a, y además se sabe, por el Teorema de
Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que
c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto
Los valores numéricos de las funciones
trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden
hallar de forma aproximada
dibujando el ángulo en su posición normal
utilizando la regla, el compás y el transportador de
ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las
proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los
valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos
específicos, pues los valores de los demás
ángulos y las demás funciones se calculan
utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente
apartado.
Las razones trigonométricas se pueden utilizar,
fundamentalmente, para resolver triángulos, así
como para resolver diferentes situaciones problemáticas en
otras ciencias.
En Topografía se puede determinar la altura de
un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la
torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco
consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez
más de su vertical. Originalmente tenía una
altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador
situado a 46 m del centro de la base de la torre,
determinó un ángulo de elevación de 54º
a la punta de la torre, el observador para determinar al
desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy
pequeño, comparado con la altura de la torre)
aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de
inclinación y la ley del coseno para determinar el
desplazamiento de la torre.
En Óptica,
en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una
placa de cierto material.
En la Aviación, si dos aviones parten de una base
aérea a la misma velocidad formando un ángulo y
siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la
distancia que se encuentran entre los mismos.
El capitán de un barco puede determinar el rumbo
equivocado del barco, siempre en línea recta, ordenando
modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto
destino correcto.
Funciones Polinómicas
Expresión matemática
formada por una suma de productos de
números reales (o más generalmente de
números de cualquier anillo), por potencias enteras de una
variable generalmente representada por la letra x; es decir, un
polinomio es una expresión del tipo P(x) = a + bx + cx2 +
dx3 + ex4…, en la que la mayor potencia de la variable se la
llama grado del polinomio.
Un polinomio se puede también interpretar como una
función real de variable real, en la que la x es una
variable numérica de la función; así, por
ej., P(x) = 3x + 2, sería la función que asigna al
valor 1, P(1) + 3.1 +2 = 5, etc. De esta manera (interpretando
las x como variables numéricas) se pueden generalizar las
operaciones
definidas en los números reales a operaciones de
polinomios, que quedan entonces definidas como:
Suma de polinomios: Se suman todos los términos
aplicando axn + bxn = (a + b)xn;
así, por ej., (3×2 + 4x + 2) + (5x – 1) =
3×2 + (4 + 5) x + (2-1) = 3×2 + 9x +
1.
Producto de un número por un polinomio: Se
multiplican todos los términos por el número.
Resta de Polinomios: Para restar polinomios se multiplica el
segundo por –1 y se suman.
Producto de Polinomios: Se multiplica cada uno de los
términos de un polinomio por todos los del otro [teniendo
en cuenta que (axn) . (bxm) =
abxn+m], y se suman los resultantes
División de polinomios: generalmente es irrealizable (su
resultado no es un polinomio).
P. Booleano: expresión simbólica constituida por la
aplicación repetida de algunas operaciones sobre un
retículo distributivo complementado.
P. Característico: Nombre que recibe, para una matriz A, el
determinante de A – xl, donde / es la matriz
identidad. Es
de gran importancia dado que esta asociado a todas las matrices
semejantes y es útil para reducirlas a su forma
canónica.
P. Formal: Sucesión indefinida de elementos de un anillo A
en la que a partir de un cierto lugar todos los términos
son nulos. Sus términos se numeran comenzando por el
índice 0, existiendo por tanto un desfase de una unidad
entre el índice que caracteriza un término y su
orden.
P. Homogéneo: Aquel cuyos sumandos son todos de igual
grado respecto del conjunto de las variables, por lo que un
polinomios de estas características constituye una
función homogénea cuyo grado de homogeneidad
coincide con el grado mencionado.
P. Irreducible: Llamado también polinomio primo, es aquel
P del anillo k que no puede descomponerse en producto de
polinomios de grado inferior pertenecientes a k.
P. Nulo: Aquel cuyos coeficientes son todos nulos.
P. Primitivo: El que tiene sus coeficientes primos entre
sí.
Tras el estudio de las nombradas funciones
matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes
tanto para las matemáticas como para muchas otras
ciencias, en especial la física y la química.
El objetivo
planteado en la introducción se cumplió, ya que se
pudo observar a lo largo del desarrollo los
diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber
también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos
queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta
problemática.
Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de
investigación fue positivo, ya que se
cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que
también esta monografía
nos será útil en la practica.
Enciclopedia Microsoft
Encarta 1999
Internet:
www.altavista.com; www.yahoo.com.ar
Análisis matemático I, Notas de Teoría
y práctica; 2da edición.
Enciclopedia Clarín, Tomo 20
Resumen
Teniendo como consigna la investigación de las funciones
matemáticas, comenzamos a interiorizarnos en el tema
buscando la definición de la palabra función.
Luego, nos inclinamos sobre ciertas funciones matemáticas
específicas, tales como la función
trigonométrica, cuadrática, logarítmica,
exponencial, afín y polinómica.
Para cada una de las funciones, reconocimos sus aplicaciones
sobre otras ciencias y además aprendimos los modelos de
ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver
cualquier situación que se nos presente en la vida
diaria.
Obtuvimos un resultado muy positivo al finalizar la
monografía, debido a que incorporamos gran cantidad de
nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva
manera de enfrentar problemáticas en campos donde
creíamos que la matemática era inútil.
Desde el punto de vista personal, creemos
que las funciones matemáticas han facilitado la labor en
muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener
resultados precisos para cada situación.
Autor:
Alejandro Carreiras