Monografias.com > Uncategorized
Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

Integrales indefinidas (página 2)




Enviado por Eleazar José García



Partes: 1, 2

Teorema 8.

Monografias.com

Teorema 9.

Monografias.com

Teorema 10.

Monografias.com

Teorema 11.

Monografias.com

Teorema 12.

Monografias.com

Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Las identidades trigonométricas se emplean con
frecuencia cuando se calculan integrales
indefinidas que involucran funciones
trigonométricas. Las ocho identidades
trigonométricas fundamentales siguientes son de crucial
importancia.

Monografias.com

2) Calcule Monografias.com

Solución.

Monografias.com

3) Determine Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Ejercicios.

Calcule las integrales indefinidas:

Monografias.com

Teorema 13. Regla de la cadena para
antiderivación.

Sea g una función
diferenciable y sea el contradominio de g algún
intervalo I. Suponga que f es una
función definida en I y que F es una
antiderivada de f en I. Entonces Monografias.com

Teorema 14.

Si g es una función diferenciable y
n es un número racional, entonces Monografias.com

Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

y observe que si Monografias.comentonces Monografias.comPor lo tanto, se necesita un factor 3
junto a Monografias.compara
obtener Monografias.comEn
consecuencia, se escribe

Monografias.com

2) Calcule Monografias.com

Solución.

Observe que si Monografias.comentonces Monografias.comPor lo tanto, necesitamos un factor 6
junto a Monografias.compara
obtener Monografias.comLuego, se
escribe Monografias.com

  • 3) Evalúe Monografias.com

Solución.

Como Monografias.comse escribe Monografias.com

Ejercicios.

Resuelva:

Monografias.com

En los teoremas que se presentan a
continuación Monografias.comes una función de x, es decir,
Monografias.com

Teorema 15.

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

En este caso Monografias.compor lo tanto, Monografias.comluego se necesita un factor 3 junto a Monografias.compara obtener Monografias.comEntonces, se
escribe

Monografias.com

Teorema 16.

Monografias.com

Ejemplo.

Calcule Monografias.com

Solución.

Consideremos Monografias.comtenemos que Monografias.comluego necesitamos un factor 6 junto a Monografias.compara obtener Monografias.comPor lo tanto,

Monografias.com

Teorema 17.

Monografias.com

Ejemplo.

Calcule Monografias.com

Solución.

Como Monografias.comentonces Monografias.compor lo tanto,

Monografias.com

Teorema 18.

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Siendo Monografias.comentonces Monografias.comluego, podemos escribir

Monografias.com

Teorema 19.

Monografias.com

Ejemplo.

Resuelva Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Ejercicios.

Resuelva las integrales indefinidas:

Monografias.com

Teorema 20.

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Sea Monografias.comentonces, Monografias.compor lo tanto

Monografias.com

Teorema 21.

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Como Monografias.comse
aplica el teorema 21 con Monografias.comde donde obtenemos, Monografias.comentonces

Monografias.com

Ejercicios.

En los siguientes ejercicios evalúe la integral
indefinida.

Monografias.com

A partir de las fórmulas de las derivadas de las
funciones
trigonométricas inversas se obtienen algunas
fórmulas de integrales indefinidas. El teorema siguiente
proporciona tres de estas fórmulas.

Teorema 22.

Monografias.com

Monografias.com

El teorema siguiente proporciona algunas
fórmulas más generales.

Teorema 23.

Monografias.com

Monografias.com

Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

2) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Con la finalidad de completar el cuadrado de Monografias.comse suma Monografias.comy como está
multiplicado por 3 en realidad se suma es Monografias.comal denominador, de modo que para que la
expresión del denominador persista, es decir, no se
altere, se resta también Monografias.comPor lo tanto, se tiene

Monografias.com

3) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Monografias.com

Las fórmulas de integración indefinida del teorema
siguientes son consecuencia inmediata de las fórmulas de
las derivadas de las funciones hiperbólicas.

Teorema 24.

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

2) Evalúe Monografias.com

Ejercicios.

Monografias.com

Antes de estudiar los diferentes métodos de
integración, se presenta una lista numerada de las
fórmulas típicas de integración indefinida
las cuales deben ser memorizadas por el estudiante para un mejor
desenvolvimiento.

Monografias.com

Monografias.com

Emprendamos el estudio de los métodos de
integración. Uno de los métodos más
ampliamente usados en la resolución de integrales es la
integración por partes.

INTEGRACIÓN POR PARTES

La fórmula de la integración por partes es
la siguiente:

Monografias.com

Esta fórmula expresa a la integral Monografias.comen términos de la
integral Monografias.comMediante
una elección adecuada de u y dv, puede
evaluarse más fácilmente integral Monografias.com

Ejemplos.

1) Evaluar Monografias.com

Solución.

Tomemos u = ln x y dv = x
dx
, por lo tanto, Monografias.comy Monografias.comluego, Monografias.com

2) Evaluar Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Sea Monografias.comy
Monografias.comentonces, Monografias.comy Monografias.compor lo tanto, Monografias.com

Ejercicios.

Evalúe las integrales indefinidas.

Monografias.com

INTEGRALES
TRIGONOMÉTRICAS

Las integrales trigonométricas implican
operaciones
algebraicas sobre funciones trigonométricas.

CASO 1.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde n es un número entero
positivo impar.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplos.

1) Calcule Monografias.com

Solución.

Monografias.com

2) Calcule Monografias.com

Solución.

Monografias.com

CASO 2.

Monografias.comdonde al
menos uno de los exponentes es un número entero positivo
impar. En la solución de este caso se utiliza un método
semejante al empleado en el caso 1.

(i) Si n es impar, entonces

Monografias.com

(ii) Si m es impar, entonces

Monografias.com

Ejemplo.

Monografias.com

Cuando ninguno de los exponentes de las potencias seno y
coseno es impar, no se pueden seguir los procedimientos
expuestos en los casos 1 y 2. En tal caso se deben tomar muy en
cuenta las identidades siguientes:

Monografias.com

CASO 3.

(i) Monografias.com(ii) Monografias.como (iii) Monografias.comdonde m y n son
números enteros positivos pares.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

(iii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplos. Monografias.com

Monografias.com

CASO 4.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde n es un número entero
positivo.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

2) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

CASO 5.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde n es un número entero
positivo par.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

CASO 6.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde m es un entero positivo
par.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

CASO 7.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde m es un entero positivo
impar.

i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

CASO 8.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde n es un número entero
positivo impar.

Aplique integración por partes.

(i) Considere Monografias.comy Monografias.com

(ii) Considere Monografias.comy Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Sean Monografias.com

Aplicando el método de integración por
partes tenemos:

Monografias.com

Luego, Monografias.com

Evaluemos la integral I aplicando el
método de integración por partes:

Sean Monografias.com

Entonces, Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

En conclusión,

Monografias.com

CASO 9.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde n es un entero positivo par y
m es un entero positivo impar.

Exprese el integrando en términos de potencias
impares de la secante o cosecante y después siga las
sugerencias del caso 8.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Las integrales A y B las resolvimos en
el ejemplo del caso 8.

La solución de A es: Monografias.com

La solución de B es: Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

CASO 10.

(i) Monografias.com(i) Monografias.como (iii) Monografias.comm?n.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

(iii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Ejercicios.

Determine las integrales indefinidas indicadas a
continuación.

Monografias.com

INTEGRACIN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA

Se mostrará con tres casos cómo el
cambio de
variable mediante sustitución trigonométrica
permite con frecuencia evaluar una integral que contiene una
expresión de una de las formas siguientes donde a
> 0:

Monografias.com

CASO 1.

El integrando contiene una expresión de la forma
Monografias.comdonde a
> 0.

Se introduce una nueva variable Monografias.comconsiderando Monografias.comdonde

Monografias.comsi
Monografias.comy Monografias.comsi x <
0

Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Solución.

Sabemos que:

Hagamos el cambio Monografias.comy diferenciemos el primer miembro con respecto
de x y al segundo miembro con respecto de Monografias.comentonces, Monografias.comSustituyendo
obtenemos:

Monografias.com

Monografias.com

Ahora, como Monografias.comy Monografias.comentonces, Monografias.com

Otra manera de resolver.

Observemos la siguiente figura:

Monografias.com

Es evidente por trigonometría que: Monografias.comy Monografias.comluego, despejando x se obtiene:
Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

Como hemos indicado anteriormente,
Monografias.comyMonografias.comentoncesMonografias.com

2) Evalúe Monografias.com

Solución.

ComoMonografias.comhaciendo el cambio Monografias.comtenemos:

Monografias.comPor lo tanto,

Monografias.com

Monografias.com

Pero, Monografias.comy
Monografias.comen
conclusión.

Monografias.com

Resolvamos teniendo en cuenta la figura
siguiente:

Monografias.com

Obviamente, Monografias.comy Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

A partir de la figura se tiene: Monografias.comy Monografias.comentonces,

Monografias.com

CASO 2.

El integrando contiene una expresión de la forma
Monografias.comdonde a
> 0.

Introduzca una variable Monografias.comconsiderando Monografias.comdonde

Monografias.comsi
Monografias.comy Monografias.comsi x <
0

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.comhaciendo
el cambio: Monografias.comobtenemos, Monografias.comy Monografias.comSustituyendo nos queda:

Monografias.com

La integral A se evalúa por partes,
así:

Sea Monografias.comy
Monografias.comsustituyendo:

Monografias.com

Monografias.com

Luego, Monografias.com

Monografias.com

Consecuentemente,

Monografias.com

Pero, Monografias.compor
lo tanto, sustituyendo resulta:

Monografias.com

CASO 3.

El integrando contiene una expresión de la forma
Monografias.comdonde a
> 0.

Introduzca una variable Monografias.comconsiderando Monografias.comdonde

Monografias.comsi
Monografias.comy Monografias.comsi Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Luego debemos hacer el cambio: Monografias.comademás,

Monografias.com

Sustituyendo,

Monografias.com

Pero, Monografias.comy
Monografias.comSustituyendo
nuevamente obtenemos:

Monografias.com

Ahora, resolvamos a partir de la siguiente
figura.

Monografias.com

Evidentemente, Monografias.comy Monografias.com

luego,

Monografias.comComo Monografias.comy Monografias.comentonces

Monografias.com

Ejercicios.

Calcule las siguientes integrales indefinidas. (En los
ejercicios 2, 3, 6, 7 y 9 resuelva completando
cuadrados)

Monografias.com

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Si se quiere integrar el cociente de dos
funciones polinómicas y el grado del numerador es mayor
que el del denominador, primero debe efectuarse la
división.

Ejemplo.

Monografias.com

Al efectuar la división de dos polinomios,
obtenemos un polinomio cociente más el resto sobre el
divisor. En el ejemplo anterior, la expresión: Monografias.compudo integrarse de
inmediato. En otros casos, se la debe descomponer en fracciones
simples, como se indicará a
continuación.

Sabemos que: Monografias.comy grado Monografias.comgradoMonografias.comó Monografias.com

La integral de q es inmediata, ya que
q es un polinomio, y el problema se reduce a integrar el
cociente de dos funciones polinómicas cuando el grado del
numerador es menor que el grado del denominador.

El procedimiento
básico en éste método de integración,
es la descomposición del cociente en fracciones simples,
para lo cual, deben hallarse, primero, las raíces del
polinomio correspondiente al denominador.

A continuación se presentan cuatro casos
según las raíces sean reales o imaginarias, simples
o compuestas.

CASO 1.

Las raices del denominador son reales y simples. El
denominador se expresa como producto de
polinomios lineales diferentes.

Ejemplo1.

Monografias.com

Las raíces del denominador son: Monografias.comy Monografias.comluego, Monografias.compor lo tanto, Monografias.com

Para calcular el valor de
A y B, multiplicamos ambos miembros de la
igualdad
anterior por Monografias.comasí:

Monografias.com

Luego, Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

Ejemplo 2.

Monografias.com

Las raíces del denominador son:
Monografias.comy Monografias.comluego, Monografias.comy Monografias.comahora, multiplicando ambos miembros de
ésta última igualdad por el denominador
obtenemos:

Monografias.com

Luego, Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

CASO 2.

Las raíces del denominador son
reales y múltiples. El denominador se expresa como
producto de polinomios lineales, algunos repetidos.

Ejemplo.

Monografias.com

Las raíces del denominador son:
Monografias.comy Monografias.comluego,

Monografias.comy Monografias.commultiplicando ambos miembros de ésta
última igualdad por Monografias.comobtenemos:

Monografias.com

Monografias.com

Luego, Monografias.comcomo no existe otro valor de x que
anule alguno de los sumandos, conviene elegir cualquier valor que
facilite los cálculos.

Por ejemplo, Monografias.comReemplacemos A y C por los valores
obtenidos, y despejemos B: Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

CAS0 3.

El denominador tiene raíces complejas, no reales,
simples. En el factoreo del denominador aparecen polinomios
cuadráticos irreducibles, todos distintos entre
sí.

Ejemplo.

Monografias.com

Las raíces del denominador son: Monografias.comy Monografias.com

Entonces, Monografias.comcon lo que Monografias.com

Multiplicando ambos miembros de ésta
última igualdad por Monografias.comobtenemos:

Monografias.com

De la última igualdad se tiene:

Monografias.comy
Monografias.comResolviendo el
sistema,
Monografias.comMonografias.comy Monografias.comPor lo tanto,

Monografias.com

CASO 4.

El denominador tiene raíces complejas, no reales,
múltiples. En el factoreo aparecen factores
cuadráticos irreducibles repetidos.

Ejemplo.

Monografias.com

El denominador no tiene raíces reales (no se
anula para número real alguno), por lo que hacemos el
cambio Monografias.compara
calcular las raíces complejas.

En efecto,

Las raíces en función de Monografias.comson: Monografias.comy Monografias.com(raíces múltiples).

Entonces, Monografias.comcon lo que,

Monografias.com

Multiplicando ambos miembros de ésta
última igualdad por Monografias.comobtenemos: Monografias.com

De ésta última igualdad se
tiene que: Monografias.comy
Monografias.comPor lo tanto,
Monografias.com

Ejercicios.

Resuelva las siguientes integrales.

Monografias.com

Ahora, veamos como resolver integrales cuando en el
integrando aparecen expresiones de la forma:

  • 1. Se efectúa el cambio de variable
    Monografias.com

  • 2. Se efectúa el cambio de
    variable Monografias.com

  • 3. Se efectúa el cambio de variable
    Monografias.como bien
    Monografias.com

Ejemplos.

1) Calcular Monografias.com

Hagamos el cambio Monografias.comluego, Monografias.comy Monografias.compor lo tanto, Monografias.com

  • 2) Calcular Monografias.com

Haciendo el cambio Monografias.comtendremos, Monografias.compor lo tanto,

Monografias.com

3) Calcular Monografias.com

Haciendo el cambio Monografias.comtendremos,

Monografias.comMonografias.comy Monografias.comluego,

Monografias.comentonces,

Monografias.com

  • 3) Calcular Monografias.com

Haciendo el cambio Monografias.comtendremos,

Monografias.comluego,

Monografias.compor lo tanto,

Monografias.com

Monografias.com

Ejercicios.

Resuelva:

Monografias.com

INTEGRACIÓN DE
FUNCIONES RACIONALES DE SENO Y COSENO

Si el integrando es una función racional de
Monografias.comy Monografias.comse puede reducir a una
función racional de z mediante la
sustitución Monografias.comCon la finalidad de obtener la fórmula
para Monografias.comy Monografias.comen términos de
z se utilizan las identidades siguientes: Monografias.comy Monografias.comEntonces se tiene,

Monografias.com

Monografias.com

Como Monografias.comentonces Monografias.compor lo tanto, Monografias.com

Los resultados anteriores se establecen como el
siguiente teorema.

Teorema 25.

Si Monografias.comentonces:

Monografias.com

Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Haciendo el cambio Monografias.comentonces Monografias.com

2) Calcule Monografias.com

Como Monografias.comy
Monografias.comentonces

Monografias.com

3) Evalúe Monografias.com

Haciendo el cambio Monografias.comentonces Monografias.com

Ejercicios.

Resuelva:

Bibliografía
recomendada

[1] Apostol Tom M. Calculus, segunda edición.

[2] Leithold Louis. El Cálculo
con Geometría Analítica
, quinta
edición.

 

 

 

 

 

 

Autor:

Eleazar José García

Profesión: Licenciado en
Matemática

País: Venezuela

Partes: 1, 2
 Página anterior Volver al principio del trabajoPágina siguiente 

Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

Categorias
Newsletter