Indice
1.
Introducción
2. Teorema de
pitágoras
3. Ley de los senos
4. Ley del coseno
5. Funciones
Trigonométricas
6. Conclusion
7. Anexos
En nuestros tiempos de avances
tecnológicos es necesario y casi prioritario el uso de
cálculos y funciones que a
pesar que fueron creadas hace mucho tiempo siempre
van a ser información y material de vanguardia en
el moderno mundo de hoy, es necesario acotar que en el siguiente
trabajo abordaremos temas de gran importancia en la matemáticas específicamente en el
area de trigonometría en donde estudiaremos sus
funciones y algo mas.
Dentro de los puntos que abordaremos estan los siguientes:
Teorema de Pitágoras
Ley de los
Senos
Ley del Coseno
Funciones trigonométricas
Función
Seno y Cosecante
Función Coseno y Secante
Función Tangente y Cotangente
Fórmulas trigonométricas.
El teorema de Pitágoras es un teorema que se
aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y
nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un
triángulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema
se enuncia así:
c2 = a2+b2
donde a y b son los lados del triángulo rectángulo,
y c siempre es la hipotenusa (el lado más grande del
triángulo).
El cuadrito rojo en la esquina del triángulo indica
solamente que ese ángulo es recto (o sea, mide exactamente
90°)
Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que
sustituir los datos que te dan,
por ejemplo, en el triángulo rectángulo:
Te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en
la fórmula, y eso nos dá:
c2 = (3)2 + (4)2
elevando al
cuadrado, eso da:
c2 = 9 +16 = 25
para obtener el valor de c,
sacamos raíz cuadrada:
o sea que c = 5.
Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados,
pues) , hay que despejar de la fórmula la a2 o
la b2, la que quieras.
así por ejemplo, en el triángulo:
hay que despejar la a de la fórmula del teorema de
Pitágoras, la b2 está sumando, la paso
restando:
c2- b2 = a2
Luego, como es,
una igualdad,
puedo escribirla así:
a2 = c2 – b2
y ya está despejada.
sustituimos ahora los valores
que nos dan de c y b ( 15 y 12)
a2 = (15)2 – (12)2
elevamos
al cuadrado y queda:
a2 = 225 – 144 = 81
finalmente, sacamos raíz al resultado, y ese será
el valor de a:
La ley de los Senos es una relación de tres
igualdades que siempre se cumplen entre los lados y
ángulos de un triángulo cualquiera, y que es
útil para resolver ciertos tipos de problemas de
triángulos.
La ley de los Senos dice así:
donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del
triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los
ángulos del triángulo:
Observa que las letras minúsculas de los ángulos no
están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a
está en el ángulo opuesto de A. La b está en
el ángulo opuesto de B. Y la c está en el
ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando
resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el
resultado seguramente te saldrá mal.
Resolución de triángulos por la ley de los
Senos
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos
que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente
son tres datos).
*Nota: No todos los problemas de resolución de
triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A
veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los
cosenos lo puede resolver.
En general, si en un problema de triángulos te dan como
datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos.
Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen
esos dos lados, usa la ley del coseno.
Supóngamos que te ponen el siguiente problema:
Resolver el triángulo siguiente:
Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto
al lado B; a al ángulo de 43° y A al lado de 5.
Lo que tenemos entónces es lo siguiente:
A = 5
B = ?
C = ?
a = 43°
b = 27°
c = ?
El ángulo c es muy fácil de encontrar,
porque la suma de los ángulos internos de un
triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den
dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre
sale así:
c = 180° – a – b
Esta fórmula es válida para cualquier
triángulo. Así que apréndetela bien o
apúntala por ahí porque la usarás
muchísimo en matemáticas.
Sustituimos en ésta expresión los ángulos
que nos dan y queda así:
c = 180° -43°- 27° = 180° – 70° =
110°
c= 110°
Ya tenemos entónces los tres ángulos a, b y c.
Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los
senos:
sustituyendo queda:
Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros
términos:
haremos de cuenta como que el tercer término, (la que
tiene la C) no existe ahorita, de la igualdad que está en
el recuadro se puede despejar la B, (como el sen (27°)
está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo
multiplicando arriba):
y calculamos ésta expresión:
3.32838 = B
y esto es lo que vale B.
Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar
la ley de los Senos, pero ahora si nos vamos a fijar en una
igualdad que tenga a la C:
(Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.)
Despejemos la C, (como sen (110°) está dividiendo
abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba):
hacemos las operaciones y
queda:
6.88925 = C
y con este resultado ya queda resuelto todo el
triángulo.
Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha
hubiéramos usado la de los extremos, el resultado
habría sido exactamente el mismo:
o escrito ya sin el término de en medio:
igual despejamos la C, (como sen (110°) está
dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando
arriba):
y si haces las operaciones verás que te dá C =
6.88925 igual que antes.
La ley de los Coseno es una expresión que te
permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si
conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que
quieres conocer. Esta relación es útil para
resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.
La ley del Coseno dice así:
y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que
hacen los lados B y C, entónces dice así:
donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del
triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los
ángulos del triángulo:
Observa que las letras minúsculas de los ángulos no
están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a
está en el ángulo opuesto de A. La b está en
el ángulo opuesto de B. Y la c está en el
ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando
resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el
resultado seguramente te saldrá mal.
Observa que la ley del coseno es útil sólo si te
dan los dos lados que te faltan y el ángulo opuesto al
lado que buscas, o sea estos:
Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el
ángulo que hacen los lados. Si no te dan el ángulo
que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los
senos.
Resolución de triángulos por la ley del Coseno
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos
que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente
son tres datos).
*Nota: No todos los problemas de resolución de
triángulos se pueden resolver con la ley del coseno. A
veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos
lo puede resolver.
En general, si en un problema de triángulos te dan como
datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos.
Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que
forman esos lados, usa ley de los cosenos.
Supóngamos que te ponen el siguiente problema:
Resolver el triángulo siguiente:
llamemos a al ángulo de 25° porque está opuesto
al lado A; C al lado que mide 12 porque está opuesto al
ángulo c. y B al lado de 9 porque está opuesto al
lado b.
Lo que tenemos entónces es lo siguiente:
A = ?
B = 9
C = 12
a = 25°
b = ?
c = ?
Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo:
realizando las operaciones queda:
A = 5.4071
Para encontrar los ángulos faltantes usaremos la ley de
los senos, :
Sustituyendo los datos del problema y el valor de A que acabamos
de encontrar queda:
Para encontrar el ángulo b, vamos a fijarnos en la primera
igualdad:
de ésta igualdad despeja el ángulo b (una forma
rápida de despejar cuando lo que queremos despejar
está abajo, es como sigue:
invierte primero los quebrados – lo de arriba pásalo abajo
y lo de abajo pásalo arriba-:
luego, lo que está dividiendo al sen(b) abajo,
pásalo multiplicando arriba del otro lado.
y así es más rápido.)
haciendo las operaciones nos queda:
inviértelo para que quede bien escrito:
sen (b) = 0.7034297712
y saca la función inversa del seno (el arcoseno):
b = sen-1 (0.7034297712)
b = 44. 703 = 44° 42'
El ángulo c es ahora muy fácil de encontrar, porque
la suma de los ángulos internos de un triángulo
siempre suma 180°. O sea que cuando tengas dos ángulos
de un triángulo, el tercero siempre sale así:
c = 180° – a – b
Esta fórmula es válida para cualquier
triángulo. Así que apréndetela bien o
apúntala por ahí porque la usarás
muchísimo en matemáticas.
Sustituimos en ésta expresión los ángulos
que nos dan y queda así:
c = 180° -25°- 44°42' = 180° – 69°42' =
110°17'
c= 110°17'
y con este resultado ya queda resuelto todo el
triángulo.
Función Seno:
La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de
un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo
siguiente:
el seno del ángulo alpha será:
Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la
función inversa del seno:
cualquier calculadora científica lo puede hacer, y
generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se
encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y
luego apretar la tecla "sin" (dice "sin" y no "sen" porque en
inglés
la función seno se escribe "sin"):
para este caso, el resultado da: 53.13010…
que es el valor en decimal que corresponde al ángulo
alpha.
Función Cosecante
La función cosecante es parecida a la función seno,
sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el
cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre
el cateto opuesto
en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno
debería sacar la función inversa de la
cosecante:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan
ésta función (ni siquiera la cosecante) porque
suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la
función inversa del inverso del seno. O sea que en lugar
de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo
lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución:
y ya.
Gráfica de la función Seno
Si graficas la
función y = sen(x) en un plano cartesiano,
obtendrías la siguiente figura:
Observa que la función no pasa de 1 por arriba y de -1 por
abajo. Se dice entónces que la función está
"acotada" entre -1 y +1. Los valores para
los que la función llega hasta +1 o -1 son los
múltiplos impares de ¶ / 2 , o sea:
con n entero y mayor que cero.
La función seno(x) tiene periodo de 2¶, esto es, que
cuando x es igual a 2¶, la función se vuelve a
repetir tomando los valores que tomó a partir del
cero.
Función Coseno:
La función Coseno se obtiene de dividir el cateto
adyacente de un triángulo rectángulo, entre su
hipotenusa:
Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo
siguiente:
el coseno del ángulo alpha será:
Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la
función inversa del coseno:
cualquier calculadora científica lo puede hacer, y
generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se
encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y
luego apretar la tecla "cos":
para este caso, el resultado da: 53.13010…
que es el valor en decimal que corresponde al ángulo
alpha.
Función Secante
La función secante es parecida a la función coseno,
sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el
cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa
entre el cateto adyacente:
en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno
debería sacar la función inversa de la secante:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan
ésta función (ni siquiera la secante) porque
suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la
función inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar
de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo
lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución
y ya.
Gráfica de la función Coseno
Si graficas la función Coseno en un plano cartesiano,
ésta se vería así:
Observa que la función se parece muchísimo a la
función Seno. La diferencia está en que el coseno
comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea
y(0) = 0]. Esto se debe a que la función coseno
está desfasada medio periódo respecto de la
función seno.
Igual que en la función Seno, la función coseno
sólo puede tomar valores entre -1 y +1. A esto se le dice
"acotada", que significa que tiene límites de
los cuáles ya no pasa.
La función es periódica ( o sea que se repite su
forma a lo largo del eje x) y su periodo vale 2¶ (o sea que
cuando x toma el valor de 2¶, la función vuelve a
tomar los valores que tomó desde el cero otra vez.
Los valores para los que la función Coseno se vuelve +1 o
-1 son los múltiplos enteros de ¶, o sea:
n¶ con n cualquier entero incluyendo el
cero.
Función Tangente:
La función Tangente se obtiene de dividir el cateto
opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto
adyacente:
Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo
siguiente:
la tangente del ángulo alpha será:
Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la
función inversa de la tangente:
cualquier calculadora científica lo puede hacer, y
generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se
encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y
luego apretar la tecla "tan":
para este caso, el resultado da: 53.13010…
que es el valor en decimal que corresponde al ángulo
alpha.
La función tangente se puede también definir a
través de las funciones seno y coseno como sigue:
y el resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto
entre el cateto adyacente.
Función Cotangente
La función cotangente es parecida a la función
tangente, sólo que al revés. Esto es: en lugar de
dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el
cateto adyacente entre el cateto opuesto
hay otras notaciones válidas para la contangente, algunos
la prefieren escribir de alguna de las siguientes formas:
pero es la misma función.
En principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno
debería sacar la función inversa de la tangente (la
arcocotangente), por ejemplo, para el problema de arriba
sería:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan
ésta función (ni siquiera la cotangente) porque
suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la
función inversa del inverso de la tangente. O sea que en
lugar de quebrarte la cabeza preguntándote
"¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente
sustitución:
y ya.
Gráfica de la función Tangente
Si graficaras la función y = tan (x) en un plano
cartesiano, ésta se vería así:
los puntos donde la función se va a infinito se llaman
"asíntotas" y en esos valores la función tangente
no está definida. Esta función tiene periodo ¶
(recuerda que en radianes ¶ = 180°). Es decir que cuando
la x toma los múltiplos de ¶, la función
vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero, y la
función se repite así hasta infinito.
Observa que a diferencia de las funciones seno y coseno, la
función tangente no está "acotada", o sea limitada
en el eje de las y's, sino que puede tomar cualquier valor y no
como la función seno o coseno que sólo pueden tomar
valores entre el +1 y el -1.
Fórmulas e Identidades Trigonométricas
La siguiente es una lista de fórmulas
trigonométricas muy útiles para resolver muchos
problemas:
Fundamentales
sen(-x) = -sen(x)
cos(-x) = cos(x)
tan(-x) = -tan(x)
sen2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
1 + cotan2x = csc2x
sen ( ¶ – x) = sen (x)
cos ( ¶ – x) = -cos (x)
tan ( ¶ – x) = -tan (x)
Suma y resta de dos ángulos en funciones
trigonométricas
sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v)
sen (u – v) = sen (u)cos (v) – cos(u)sen(v)
cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sen(u)sen(v)
cos (u – v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v)
Fórmulas para la suma del doble del
ángulo
sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
cos(2x) = 2cos2(x) – 1
cos(2x) = cos2(x) – sen2(x)
cos(2x) = 1 – 2sen2(x)
Fórmulas para el cuadrado de la
función
Fórmulas para el cuadrado de la función con la
mitad del ángulo
Fórmulas para la tangente de la mitad del
ángulo
Fórmulas para el producto de
seno y coseno
Fórmulas para la suma y resta de senos y cosenos
Identidades entre funciones trigonométricas
Ley de los seno
Ley del Coseno
La ley de los Senos y ley del coseno se basan en éste
triángulo:
Tabla de coseno y seno de los ángulos
principales
A través del tiempo una gran cantidad de
personajes han dedicado su vida para contribuir con la
realización de cálculos que ayuden y nos lleven a
encontrar respuestas y resultados exactos para así
descubrir el porque de los fenómenos y hechos en la
historia
humana.
Unos de los puntos dentro de la matemática
a resaltar seria las funciones trigonométricas son valores
sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se
dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas
rectangulares está en su posición normal si su
vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide
con la parte positiva del eje x.
Estas funciones fueron creadas a partir de la
trigonometría plana y esférica para después
ser perfeccionada y lograr lo que hoy llamamos Funciones
Trigonometricas, es necesario dejar claro que es importante
ya que forma parte de la matemáticas y que es fundamental
en el desarrollo de
algunas operaciones de cálculos para así obtener
los resultados de los objetivos
trazados.
Problemas típicos con fórmulas
trigonométricas
Suponte que te piden demostrar que:
El chiste para hacer estos problemas es el siguiente:
Escribe el ángulo que te piden (75° en éste
caso) como la suma de dos ángulos cuyas funciones
trigonométricas conozcas (osea en términos de
30°, 45°, 60° ó 90°)
Vemos entónces que 75° lo podemos escribir como la
suma de 30° + 45°. Sustituyendo queda:
sen (75°) = sen (30° +45°)
Recordamos ahora la del
seno de la suma de dos ángulos:
sen(A + B) = sen(A) cos(B) + sen(B) cos(A)
aquí A va a ser 30° y B va a ser 45°.
sustituyendo queda:
sen(30° + 45°) = sen(30°) cos(45°) + sen(45°)
cos(30°)
sustituímos ahora a lo que es igual cada seno y
coseno:
Factorizemos todo lo que podamos:
pero como :
entónces queda:
si multiplicas los quebrados y el paréntesis cuadrado, te
da (el paréntesis cuadrado sólo multiplica a los
números de arriba, a los 1's pues)
que es lo que queríamos demostrar.
Problemas típicos con geometría
en el Círculo Unitario
Supónte que te piden encontrar el coseno y el seno de
225° por método
gráfico (geometría) en el círculo
unitario.
Primero entónces grafícalo en el círculo
unitario para ver en hasta dónde llega el
ángulo:
Llegó hasta el lado negativo de las x's y de las y's. Eso
significa que los valores del coseno(225°) y del
seno(225°) van a ser negativos, porque los lados del
triángulo están en la parte negativa de los
ejes.
Luego trata de ver si puedes encontrar el ángulo 
del triángulo, pero en
términos de un ángulo que ya conozcas. Por ejemplo,
para éste problema, vemos que la mitad del ángulo
mide 180°:
osea que el ángulo que nos piden (225°) son 180° +
45° (porque 180° mas 45° nos dan 225°)
entónces , el ángulo 
, es 45°.
Entónces, el coseno de 225° es lo mismo que el coseno
de 45° sólo que negativo porque el lado de las x's del
tríangulo quedó en los negativos.
Así también, el seno de 225° es lo mismo que el
seno de 45° sólo que negativo porque el lado de las
y's del tríangulo quedó también en los
negativos.
Y como sabes:
osea que:
Así es cono todos los ángulos
básicos.
Titulo: 10 Olimpíadas Iberoamericanas de
Matemática .
Autor: Eduardo Wagner
Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
Patricia Fauring
Flora Gutiérrez
Ana Wykowski
ISBN: 84-7666-076-6
Pág. : 290
Edita: Organización de Estados Iberoamericanos
para la
Educación, la Ciencia y
la Cultura
(OEI)
Autor:
Felibert Manuel
Dávila Glicerly
Catia la Mar 18/03/2003.
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Educación Cultura y
Deporte
U.E.I.P. Romulo Betancourt