UNIVERSIDADE PAULISTA - ARAÇATUBA
ENGENHARIA CIVIL

DISCIPLINA:
Teoria das Estruturas

“TEOREMAS RECÍPROCOS – MAXWELL-BETTI”

Araçatuba
2013

TEOREMAS RECÍPROCOS
Teorema de Betti
“O trabalho produzido por um sistema de forças em equilíbrio quando se desloca devido às deformações produzidas por um outro sistema de forças em equilíbrio, é igual ao trabalho produzido por este segundo sistema de forças quando se desloca devido às deformações produzidas pelo primeiro sistema”.

O princípio dos trabalhos virtuais pode ser utilizado para formular dois teoremas que são úteis na análise de estruturas lineares. Esses teoremas são chamados de reciprocidade e podem ser: Teorema de Maxwell e a sua versão generalizada, o Teorema de …exibir mais conteúdo…

Este teorema decorre do teorema dos trabalhos virtuais e permite estabelecer uma correspondência entre dois sistemas de carga e de deslocamento. Considere-se a estrutura representada na figura seguinte, sob a ação de cargas Pi e Qj, e representese por δij o deslocamento do ponto de aplicação da carga i, na direção e sentido desta, devido à ação da carga j na estrutura.

Deslocamento provocados por sistemas de carregamentos diferentes.

A energia de deformação acumulada na estrutura quando esta é carregada só pelo sistema de forças Pi deverá ser calculado por:

Se, quando da aplicação quasi - estática do sistema de cargas Pi a estrutura já estivesse carregada com as cargas Qj, a energia de deformação total acumulada na estrutura seria dada por:

Nesta operação foram adicionados os termos correspondentes ao trabalho e à variação interna motivada pelo sistema de forças Qj sobre os deslocamentos δji originados pelas cargas Pi. Designando por σp as tensões devidas às cargas Pi e por σQ as tensões devidas às cargas Qj.

Se invertermos a ordem de aplicação das cargas, é possível calcular o trabalho produzido pelo sistema de cargas Pi sobre os deslocamentos δij motivados pelas cargas
Qj.

Para o material em causa, se a relação tensão-deformação for linear pode-se escrever:

[D] representa a matriz de elasticidade.

A utilização das equações anteriores