Curvas e Superfícies
Profª Soraia Raupp Musse

Classificação
• Curvas
– Apenas comprimento

2

Classificação
• Superfícies
– Apenas área
– Cascas infinitesimalmente finas, ocas
– Abertas ou fechadas

3

Classificação
• Sólidos
– O interior também interessa

Isto é um sólido?
4

Problema:
Gerar uma curva suave que passe por pontos específicos

B

A
C

D

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Solução: gerar uma curva no espaço, distribuindo pontos de maneira suave

B

A
C

D

Interpolação
• Princípio básico
– Alterar de forma incremental a posição de um ponto no espaço

• A base para a maioria das técnicas de animação é algum tipo de interpolação de valores. Interpolação X Aproximação

Interpolação X …exibir mais conteúdo…

• Grau maior que 3: Maior custo computacional com pouca vantagem prática.
• Por padrão, usa-se cúbicas. f (t ) = at + bt + ct + d
3

2

22

23

Continuidade
• Questão fundamental
• Métodos adequados:
– Hermite
– Catmull-Rom
– Blending de parábolas
– Curvas Bézier
– ...

Continuidade
• Para assegurar a continuidade entre segmentos de curva, definem-se restrições adicionais de continuidade
• 2 tipos de continuidade:
– Continuidade paramétrica, denotada por Cn onde n = grau de continuidade
– Continuidade geométrica, denotada por Gn
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Continuidade

Continuidade Geométrica G0 Continuidade Geométrica G1
Dois segmentos se encontram Direção das tangentes dos em um ponto segmentos são iguais no ponto de junção

Continuidade Paramétrica C1
Direção e magnitude das tangentes dos segmentos são iguais no ponto de junção

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Controle
• Local

• Global

Métodos para representar curvas
• Hermite
• Bézier
• B-Spline
• Catmull-Rom

http://www.sm.luth.se/~peppar/presentations/bibdc961114/misc_applets/ParamCurve/

Hermite
• Definida a partir de restrições no ponto inicial e no ponto final.
– Os pontos propriamente ditos: P0 e P1
– Vetores tangentes nestes pontos: V0 e V1

Hermite

R1
P4
P1
R4

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Hermite
• Vantagens
– Bem fácil de implementar ☺
– Adequada para aplicações onde seja útil definir a curva
em