Revisão Matemática
Teoria Microeconômica II

Conceitos Básicos
 Funções
 Uma função ?: ? → ? consta de três partes:
 1) Contradomínio

 2) Domínio
 3) Função

Conjuntos
Regra

 Notações

 ? → ?(?)

 Condições

 Não deve haver exceções: A regra deve oferecer ? ? para todo ? ∈ ?.
 Não deve haver ambiguidade: a cada ? ∈ ?, a regra deve fazer corresponder um único
? ? em B.

Conceitos Básicos
 Funções
 Linear
 Não Linear

 Função inversa
 ? = ? −1 ? = ℎ(?)
Linear
? = 2?

Não Linear
?=

1
?

Inversa Linear
1
?
2
? = ?2

?=

Hugo V. O. Dalla Costa - USP/ESALQ - Equipe de Microeconomia Aplicada

Inversa Não Linear
1
?=
?
?=± ?*

Conceitos Básicos
 Continuidade

∃ ?(?) …exibir mais conteúdo…

=

?(?)
?

=

?
?

?
??

? ? =

2
?

= 4? + 3 + ; Custo médio

 Função marginal
 ???????? =

??
??

= ? ′ ? = 8? + 3 ; Custo marginal

Hugo V. O. Dalla Costa - USP/ESALQ - Equipe de Microeconomia Aplicada

Maximização sem restrição com várias variáveis
1. ??? < 0 e ? ?? < 0 ⇒ Máximo
2. ??? > 0 e ? ?? > 0 ⇒ Mínimo

 Pontos Críticos
 Condições de primeira ordem



??
??
??
??

=
=

??
| ??
??
??
|(??
??

3. ??? ? ?? − ???

 ?2 ? =

> 0 tanto pro max quanto pro mín

= 0 = ?? = 0
= 0) = ?? = 0

De onde vem? Matriz de Hess

 Condições de segunda ordem
?2 ?
?? 2

2

∙ ??

2

+

?2 ?
?? 2

∙ ??

2

+2∙

?2 ?
????

< 0 ⇒ ponto de máximo

∙ ????
> 0 ⇒ ponto de mínimo

Hugo V. O. Dalla Costa - USP/ESALQ - Equipe de Microeconomia Aplicada

Maximização sem restrição com várias variáveis
 Matriz Hessiana
?11 ⋯ ?1?
⋱
⋮ se ?11 < 0 e
 ? ? = ⋮
? ?1 ⋯ ? ??
?11 ?22 − ?12 2 > 0 no caso de uma função com duas variáveis então esta função é de máximo. 0
?1
 ? ? = ?2
…
??

?1
?11
?21
…
? ?1

?2
?12
?22
…
? ?2

…
…
…
…
…

??
?1?
?2?
…
? ??

Para ser máximo, −1 ? ? deve ser negativamente definida
Para ser mínimo, −1 ? ? deve ser positivamente definida Hugo V. O. Dalla Costa - USP/ESALQ - Equipe de Microeconomia Aplicada

Exemplo
? = ??? − ?2 + ??? − ?²
??
= 10 − 2? ∗ = 0
??
??
= 20 − 2? ∗ = 0
??
2?