Plano de Aula
AULA 10: INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS Objetivo: Campo de velocidade Descrições Lagrangeana e Euleriana Escoamentos uni, bi e tridimensional Velocidade e aceleração Equação da continuidade – forma diferencial Circulação Rotação Deformação
1

Equação da quantidade de movimento – forma diferencial

Campo de velocidade

V = V ( x, y , z , t ) ˆ ˆ V = u (x, y, z , t )i + v( x, y, z , t ) ˆ + w( x, y, z , t )k j
2

Descrições Lagrangeana e Euleriana

3

Escoamentos uni, bi e tridimensional
Escoamento tridimensional : V = V ( x, y, z , t )

Escoamento unidimensional : V = V (x, t )

Escoamento bidimensional : V = V (x, y, t )

4

Escoamentos uni, bi e tridimensional

Escoamentos em regime …exibir mais conteúdo…

os θ )dl Γ = ∫ dΓ = ∫ (V cos θ )dl Γ = ∫ V ⋅ dl
17

Circulação
Circulação no elemento de fluido

∫(
AB

 ∂u dy  V idl =  u −  dx ⋅ cos 0º ∂y 2  

)

∫(
BC

∂v dx   V idl =  v +  dy ⋅ cos 0º ∂x 2  

)

∫(
CD

 ∂u dy  V idl =  u +  dx ⋅ cos180º ∂y 2  

)

∫(
DA

∂v dx   V idA =  v −  dy ⋅ cos180º ∂x 2  

)

18

Rotação

ˆ ω = ω xiˆ + ω y ˆ + ω z k j 1 ω z = (ωoa + ωob ) 2 ∂v v = vo + ∆x ∂x ∂u u = uo + ∆y ∂y

velocidade angular da linha oa: ∆α ∆η ∆x = lim ωoa = lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆η ∂v como = ∆x ∆t ∂x ( ∂v ∂x ) ∆x∆t / ∆x = ∂v Vem ωoa = lim 19 ∆t →0 ∆t ∂x

Rotação

velocidade angular da linha ob: ∆β ∆ξ ∆y ωob = lim = lim ∆t →0 ∆t ∆t → 0 ∆t ∆ξ ∂u = − ∆y como ∆t ∂y Vem ωob = lim − ( ∂u ∂y ) ∆y∆t / ∆y ∆t
∆t →0

∂u =− ∂y

1  ∂v ∂u  então ω z =  −  2  ∂x 20∂y 

Rotação

1  ∂w ∂v  1  ∂u ∂w  analogamente ω x =  −  e ωy =  −  2  ∂y ∂z  2  ∂z ∂x 
Portanto  ˆ ˆ ˆ + ω y ˆ + ω z k = 1  ∂w − ∂v  i +  ∂u − ∂w  ˆ +  ∂v − ∂u  k  ˆ  ω = ωxi j    j  ∂x ∂y   2  ∂y ∂z   ∂z ∂x   1 ω = ∇ ×V 2

21

Deformação

A deformação angular é a diminuição do ângulo entre as linhas oa e ob: d γ dα d β − = + dt dt dt ( ∂v ∂x ) ∆x∆t ∆x = ∂v dα ∆α ∆η ∆x então = lim = lim = lim ∆t → 0 ∆t ∆t →0 ∆t →0 dt ∆t ∆t ∂x e

( ∂u ∂y ) ∆y∆t ∆y = ∂u dβ ∆β ∆ξ ∆y = lim = lim = lim ∆t → 0 dt ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆t ∂y dα d β d γ ∂v ∂u Portanto + =− = + dt dt dt ∂x ∂y

22

Deformação
Exemplo 6: O escoamento de fluido viscoso no espaço estreito entre grandes