|[pic] |

LISTA DE EXERCÍCIOS DE COMPOSIÇÃO E INVERSÃO DE FUNÇÕES - GABARITO
(Livro Fundamentos da Matemática Elementar – G. Iezzi e C. Murakami)

1) Se f(x) = x3 e g(x) = x4, mostre que fog(x) = gof(x).

Solução. i) fog(x) = f(x4) = (x4)3 = x3x4 = x12.

ii) gof(x) = g(x3) = (x3)4 = x4x3 = x12.

2) Sejam [pic] e [pic]. Determine os domínios das funções fog(x) e gof(x).
Solução. i) fog(x) = f(2x2 – 5x +3) = [pic]. O domínio dessa função será o conjunto dos valores de x positivos. Basta resolvermos a inequação do 2º grau: [pic] As raízes da equação podem ser encontradas …exibir mais conteúdo…

Neste caso, temos como domínio de f duas condições: x ( 2 e x < 2.
Primeiro, para x ( 2, temos, f(x) = 2x –1 e daí, 2x – 1 ( 1 ou 2x – 1 < 1, então temos, x ( 1 ou x < 1. Como temos x ( 2 então o valor x < 1 está descartado, e portanto, (g ( f)(x) = g[f(x)] = [2x – 1]2 – 1 = 4x² + 4x + 1 – 1 = 4x² – 4x, se x ( 2, pois foram usados: f(x) = 2x – 1 (de domínio x ( 2) e g(x) = x² – 1 (de domínio x ( 1).
Para a segunda condição: x < 2 de f, temos: f(x) = 4 – x e daí, 4 – x ( 1 ou 4 – x < 1 então, x ( 3 ou x > 3 e como x < 2, a condição x > 3 está descartada e portanto, (g ( f)(x) = g[f(x)] = [4 – x]² – 1 = 16 – 8x + x² – 1 = x² – 8x + 15, se x < 2, pois foram usados: f(x) = 4 – x (de domínio x ( 2) e g(x) = x² – 1 (de domínio x ( 1).
(g ( f)(x) = [pic]
8) O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos (- 3,4) e (3, 0). Se f-1 é a função inversa de f, determine f-1(2).

Solução. A equação da reta é da forma y = ax + b. No caso os dois pontos satisfazem a equação. Então temos:

4 = - 3a + b
0 = 3a + b. Resolvendo o sistema, temos: 2b = 4. Logo b = 2. Substituindo em uma das equações, sai que a = -2/3. A equação da reta então é y = (-2/3)x + 2. No caso da função do 1º grau, temos: f(x) = (-2/3)x + 2. Calculando a inversa, temos: x = (-2/3)y + 2. Resolvendo em y, vem: y = (-3/2)x + 3.

f-1(x) = (-3/2)x + 3. Aplicando em x = 2, vem: f-1(2) = (-3/2).2 + 3 = - 3 + 3 = 0.

9) Sejam os conjuntos A = {x ( R / x ≥ 1} e B