Aplicaciones de la derivada
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Queremos añadir a una casa una nueva habitación rectangular de 12 m2 de superficie. ¿Qué longitud debemos dar a sus paredes para que el perímetro sea el menor posible y minimizar la cantidad de ladrillos utilizados en esa ampliación?

0

12 x Como la nueva habitación va a ser un añadido de la casa, una de sus paredes debe coincidir, de esa forma no necesitamos ningún ladrillo, puesto que ya está construida.
Si x e y son las dimensiones tenemos que: xy

Así, debemos minimizar: P ( x , y )

2x

y

12

y

P( x )

2x

12
2 x 2 12
0
x
6,x
6 x2 x2
Como una longitud no puede ser negativa, tenemos que: x

P'( x )

12 x 2

6 →y

2 6

Comprobamos que en este punto se …ver más…

Llamamos r y h al radio y la altura del cono.
Se cumple que: r2 (h

9 )2

r2

81 ( h

81
9 )2

h2

18h

9

h 9 r La función que debemos optimizar es:
1
3

V ( r , h)
V'( h)
V"( h)
V"( 0 )
V"(12)

1
3

r 2h

V ( h)

( 3h2

36 h)

( 2h

1
3

( h2
( h2

18 h)h

12h)

0

1
3

( h3

h

0, h

0

18h2 )
12

12)

0 → Para h
0 → Para h

0 alcanza un mínimo.
12 alcanza un máximo.

Así, el cono que tiene mayor volumen es el que tiene altura 12 cm y radio de la base 72

066

0

6 2 cm.

Se quiere organizar una competición deportiva que consiste en nadar desde un lugar A, situado en la orilla de un río, hasta otro lugar B situado en la misma orilla; allí se sale del río y corriendo hay que llegar hasta otro lugar C, desde el cual se regresa de nuevo a B, donde se acaba la competición. Se supone que todos los trayectos son rectilíneos.
La distancia de A a B mide 0,2 km y la de C al río mide 0,5 km.
Determina a qué distancia de A hay que situar el punto C para que el recorrido completo sea el menor posible.

0

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SOLUCIONARIO

Podemos expresar la distancia recorrida de la siguiente forma:
E( x )
E'( x )

0, 2

2 0, 52
2x

0 , 52

x2

En ( ` , 0 ) → E'( x )
En ( 0, ` ) → E'( x )