En matemáticas, los números de Bernoulli (denotados por y, a veces, por con el fin de distinguirlos de los números de Bell) constituyen una sucesión de números racionales con profundas conexiones en teoría de números.
Fueron llamados así por Abraham de Moivre, en honor de Jakob Bernoulli, primer matemático que los estudió. Los números de Bernoulli también aparecen en la expansión de las funcionestangente y tangente hiperbólica mediante series de Taylor, en la fórmula de Euler-Maclaurin y en las expresiones de ciertos valores de la función zeta de Riemann.
Introducción[editar · editar fuente]
Históricamente, surgieron de los intentos de obtener una forma cerrada de la suma de potencias de números naturales:

Las formas cerradas de …ver más…

La peculiar forma del valor de parece señalar que los valores de los números de Bernoulli no tienen una descripción elemental -- aunque esto es falso, existen formulas cerradas para obtener el $n$ esimo numero de Bernoulli ; de hecho, esencialmente son valores de la función zeta de Riemannpara enteros negativos y están asociados a propiedades profundas de la teoría de los números.
Identidades relacionadas[editar · editar fuente]
Leonhard Euler expresó los números de Bernoulli en términos de la función zeta de Riemann con la expresión siguiente:

Propiedades aritméticas[editar · editar fuente]
Como ya se ha indicado, los números de Bernoulli pueden expresarse en términos de la función zeta de Riemann, lo que implica que en esencia, son valores de la función zeta para los enteros negativos. Así, se puede esperar que tengan propiedades aritméticas de índole no trivial, un hecho que fue descubierto por Ernst Kummer en sus trabajos sobre el Último teorema de Fermat.
Las propiedades de los números de Bernoulli relacionados con su divisibilidad se relacionan con los grupos de clases ideales de campos ciclotómicos gracias al teorema de Kummer y se refuerzan gracias al teorema de Herbrand-Ribet; también se relacionan con los campos cuadráticos gracias al las proposiciones de Ankey-Artin-Chowla. Tienen también conexión con las teorías-K algebraicas; si es el numerador de , entonces el orden de