Vector Gradiente

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TALLER NO. 8 Calculo II.

1. En los ejercicios siguientes, encuentre los extremos relativos de la funci´n o dada. f (x, y) = 16 − x2 − y 2 ,
2 2

f (x, y) =

x2 + y 2 + 1 f (x, y) =
1 x

f (x, y) = 18x − 32y − 36x − 128y − 110, f (x, y) = x3 + y 3 − 18xy,

−

64 y

+ xy

f (x, y) = x2 − 4xy + y 3 + 4y

2. Determine los tres n´meros positivos cuya suma sea 24, y de manera que u su producto sea el mayor posible. 3. Encuentre el punto del plano 3x + 2y − z = 5 que est´ m´s cercano al a a punto (1, −2, 3), y calcule la distancia m´ ınima. 4. Determine los puntos de la superficie y 2 − xz = 4 que est´n m´s cerca del e a origen, y calcule la distancia m´ ınima. 5. Una inyecci´n de x miligramos de cierto medicamento A y y …ver más…

22. Cambie el orden de integraci´n de las siguientes integrales : o
1 0 2 0 0 − 0 x

f (x, y)dy dx.

√

f (x, y)dy dx.
1−(x−1)2

23. Calcule las ´reas de las regiones limitadas por las respectivas curvas, usa ando integraci´n iterada. o a) 2y = x2 , x = y b) y = 2x − x2 , y = x2 c) 4y = x2 − 4x, x − y − 3 = 0. 24. Calcule las integrales de las siguientes funciones: a) f (x, y) = x + y, sobre la regi´n limitada por x = 0, y = 0, x + y = 2. o b) f (x, y) = x2 + y 2 , sobre la regi´n limitada por y = 0, x = y, x = 1. o c) f (x, y) = x2 , sobre la regi´n {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}. o

25. Calcule el ´rea de la regi´n en el interior de las siguientes curvas: a o a) (x2 + y 2 )2 = 2a2 xy. b) (x2 + y 2 )3 = a2 (x4 + y 4 ) c) (x2 + y 2 )2 = a(x3 + y 3 )

3

26. Calcule el volumen del s´lido acotado por las siguientes superficies: o a) x − y + z = 6, x + y = 2, x = y, y = 0, z = 0. b) x2 a2

+

z2 c2

b = 1, y = a x, y = 0, z = 0, x > 0.

c) z = sen(x2 + y 2 ), z = 0, 0 < x2 + y 2 < π. d) x2 + y 2 = cz, x4 + y 4 = a2 (x2 + y 2 ), z = 0. e) x2 + y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 > |ax|. 27. Sea S la regi´n en R2 definida por x > 0, y > 0, x2 + y 2 < a2 . Demuestre o que las integrales de x2 , y 2 y (x2 + y 2 )/2 sobre S son iguales. 28. Calcule la integral
1 0 1 y 1/3

1 dxdy, 1 + x4

cambiando el orden de integraci´n. o 29. (a) Calcule el ´rea de la

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